Errore

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Introduzione

Errore In fisica e nelle scienze sperimentali in genere, la differenza tra il valore rilevato e il valore vero di una grandezza misurata. Esistono due tipi di errore: quello accidentale e quello sistematico. Il primo occorre senza regole fisse, a causa di fattori imprevedibili, influenzando la misura ora per eccesso, ora per difetto. Il secondo può dipendere da un malfunzionamento dello strumento di misura, da un errore di taratura o da un’irregolarità nel procedimento stesso della misura, e ha la caratteristica di occorrere sempre nello stesso senso (o sempre per eccesso, o sempre per difetto).

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Analisi statistica degli errori accidentali

Mentre l’errore sistematico può essere individuato ed eventualmente prevenuto o ridotto, non è possibile evitare l’errore accidentale. Per ottenere un valore attendibile, quindi, che sia il più possibile vicino al valore vero della grandezza in questione, è opportuno ripetere la misura numerose volte e valutare il valore medio delle N misure effettuate. Detti x₁, x₂ ... x_N i valori ottenuti, il valore medio della grandezza x, che si può assumere la migliore stima del valore vero cercato, è:

x_m = (x₁ + x₂ + ... x_N)/N

Lo scarto tra ogni singola misura e il valore medio prende il nome di errore o incertezza assoluta, e si scrive:

e_i = |x_i – x_m|

dove l’indice i può assumere tutti i valori compresi tra 1 ed N e le barre verticali sono il simbolo di modulo o valore assoluto, l’operazione che rende positiva la quantità a cui viene applicata. Per valutare l’incertezza assoluta sul valore medio, si può calcolare la media degli errori assoluti:

e_m = (|x₁ – x_m|+|x₂ – x_m|+...+|x_N – x_m|)/N

In genere, al termine dell’operazione di misura, si dà una stima della grandezza x indicando il valore medio accompagnato dalla deviazione standard σ, o scarto quadratico medio:

x = x_m + σ

La deviazione standard rappresenta una valutazione della dispersione dell’errore accidentale. Questo, infatti, come tutte le variabili causali, si distribuisce intorno al valore medio secondo la legge “normale”, o gaussiana, rappresentata nel piano cartesiano dalla curva di Gauss.

In alcuni casi, poi, conviene esprimere l’errore di misura non in termini assoluti, ma relativi, valutando il rapporto tra l’errore assoluto e il valore medio a cui è riferito. Pertanto, si definisce errore relativo il rapporto:

E_r = e_i/x_m

La stessa stima, in termini percentuali, si scrive:

E_% = e_i/x_m · 100

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Dispersione degli errori

Nel caso in cui si voglia determinare una grandezza derivata, che sia il risultato di un’operazione tra due o più grandezze misurabili in modo diretto, va tenuto conto del fatto che gli errori sulle singole grandezze si propagano alla grandezza derivata. Così, se questa è data da una somma o una differenza, l’errore assoluto si può calcolare come la somma dei singoli errori assoluti delle grandezze misurate. Ad esempio, se si vuole determinare la grandezza c, data dalla somma:

c = a + b

e si effettuano le misure per determinare i valori di a e b:

a = a_m + e_a e b = b + e_b, allora

c = (a_m + b_m) + (e_a + e_b)

Se invece la grandezza da determinare è data da un prodotto o da un quoziente, se ne può calcolare più semplicemente l’errore relativo, che risulta pari alla somma dei singoli errori relativi.