Prodotto scalare

Prodotto scalare Operazione tra vettori che ha come risultato una quantità scalare. Detti a e b due valori qualunque, orientati in modo da formare un angolo a, il prodotto scalare (o prodotto interno) c = a · b è dato dal prodotto del modulo di a, per il modulo di b, per il coseno trigonometrico dell’angolo compreso. In formule:

c = a b cos a.

In altri termini, note le proprietà della trigonometria, si può raggruppare la quantità (a cos a) e vederla come la proiezione di a lungo la direzione di b o, in alternativa, si può raggruppare (b cos a) e vederla come la proiezione di b lungo la direzione di a; quindi si può anche dire che il prodotto scalare tra due vettori è dato da prodotto del modulo di uno dei due vettori per la proiezione dell’altro lungo la direzione del primo, o viceversa.

L’annullamento del prodotto scalare di due vettori non nulli implica la perpendicolarità dei due vettori. Infatti, se il prodotto a b cos a è nullo e sia a che b sono diversi da zero, deve essere necessariamente cos a = 0, il che significa a = 90° o a = 270°. Inoltre, per il prodotto scalare vale la proprietà commutativa: a · b = b · a.

In fisica, un tipico esempio di grandezza ottenuta come prodotto scalare di due vettori è il lavoro di una forza: L = F · S, dove F rappresenta il vettore forza ed S il vettore spostamento.