Statistica di Fermi-Dirac

Statistica di Fermi-Dirac Statistica fisica quantistica che descrive il comportamento delle particelle dotate di spin semi-intero, vale a dire dei fermioni. Esempi di questa classe di particelle sono gli elettroni, i protoni e i neutroni, vale a dire, tutte le particelle a cui si applica il principio di esclusione di Pauli. Il modello statistico prende il nome dai due scienziati che lo elaborarono: Enrico Fermi e Paul Dirac. Essenzialmente, si ottiene adattando la statistica classica di Ludwig Boltzmann al principio tipicamente quantistico dell’indistinguibilità delle particelle, e tenendo conto del principio di esclusione di Pauli.

Il principio di indistinguibilità differenzia l’approccio statistico quantistico da quello classico. Afferma che due particelle quantistiche identificate in un certo istante con due etichette distinte (ad esempio, 1 e 2), dopo un intervallo di tempo Δt non sono più distinguibili, e il sistema è identico a quello che si sarebbe ottenuto etichettando la particella 1 come particella 2 e viceversa. Dal punto di vista analitico, l’indistinguibilità dei fermioni corrisponde alla proprietà di antisimmetria delle funzioni d’onda che li descrivono: la funzione di un sistema di due particelle indistinguibili cambia segno se si inverte l’etichetta di una particella con l’altra.

In generale, una statistica si identifica con la legge di distribuzione dell’energia su tutti gli stati possibili del sistema. Nota la funzione di distribuzione, è possibile ricavare le grandezze fisiche macroscopiche che dipendono dall’energia. Per la statistica di Fermi-Dirac, la legge di distribuzione dell’energia è:

N(E_i) = 1/(e^(Ei-Ef)/kT + 1),

dove N(E_i) rappresenta il numero di particelle che si trovano nello stato di energia E_i, E_f è l’energia a cui corrisponde un numero di particelle N(E_f) pari a 1/2, k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta del sistema all’equilibrio.

La funzione è limitata (non assume mai valori superiori a 1) e ha un andamento decrescente. La prima caratteristica corrisponde al fatto che, come prescritto dal principio di esclusione di Pauli, ogni stato non può ospitare più di una particella. Il fatto poi che sia decrescente indica che le particelle tendono prima a occupare gli stati a energia minore, e poi quelli di energia via via più alta. Quando E_i è molto maggiore di E_f, il denominatore della frazione diventa molto grande e il numero di stati N(E_i) molto piccolo, e paragonabile al valore fornito dalla statistica classica di Boltzmann (vedi Meccanica statistica).

Un esempio di un sistema a cui si può applicare la statistica di Fermi-Dirac è il gas di elettroni di conduzione di un metallo. Il modello, infatti, spiega correttamente il fenomeno della conduzione e la cosiddetta teoria delle bande.