Statistica di Bose-Einstein

Statistica di Bose-Einstein Modello statistico quantistico che descrive il comportamento delle particelle dotate di spin intero, vale a dire dei bosoni. Il modello prende il nome dai due scienziati, Satyendra Nath Bose e Albert Einstein, che la elaborarono nel 1924 (Einstein la formulò a partire dagli studi di Bose).

La statistica prevede che i bosoni, a temperature prossime allo zero assoluto, tendano a occupare tutte lo stesso stato energetico. Il loro comportamento, quindi, differisce profondamente da quello dei fermioni: questi ultimi, infatti, non possono occupare lo stesso stato quantico, ma si distribuiscono ordinatamente su tutti gli stati quantici disponibili, senza alcuna sovrapposizione, secondo quanto prescritto dal principio di esclusione di Pauli.

In generale, una statistica si identifica con la legge di distribuzione dell’energia su tutti gli stati possibili del sistema. Nota la funzione di distribuzione, è possibile ricavare tutte le grandezze fisiche macroscopiche che dipendono dall’energia.

Come nel caso della statistica di Fermi-Dirac, la distribuzione di Bose-Einstein si ricava adattando la statistica classica di Boltzmann al postulato di indistinguibilità delle particelle. Diversamente dal caso dei fermioni, tuttavia, non si deve imporre alcuna restrizione sul numero di particelle assegnabile a ogni stato di energia perché, come già specificato, per i bosoni non vale il principio di esclusione di Pauli. In formule, la legge di distribuzione dell’energia di Bose-Einstein è:

N(E_i) = 1/(e^(Ei-Ef)/kT - 1),

dove N(E_i) rappresenta il numero di particelle che si trovano nello stato di energia E_i, E_f è un parametro caratteristico della specie in esame, detto potenziale chimico, k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta di equilibrio del sistema.

Se E_i è molto grande, il denominatore della frazione diventa anch’esso molto grande e il numero di stati N(E_i) molto piccolo, paragonabile al valore fornito dalla statistica classica di Boltzmann. Per bassi valori dell’energia E_i, invece, la funzione assume valori maggiori di quelli previsti dalla statistica di Boltzmann (tutte le particelle tendono a concentrarsi nello stesso stato energetico).

La statistica di Bose-Einstein permette di spiegare numerosi fenomeni osservati, come la creazione di luce laser, l’emissione della radiazione di corpo nero e il condensato di Bose-Einstein. Quest’ultimo, in particolare, è uno stato di aggregazione del tutto inusuale, con caratteristiche diverse da quelle dello stato solido, dello stato liquido, di quello gassoso o di quello di plasma. Portando le particelle di un gas diluito (ad esempio, rubidio) a temperature molto basse, di poco superiori allo zero assoluto, le particelle perdono completamente la loro individualità, andando a occupare tutte lo stesso stato energetico.

Previsto a livello teorico nel 1924 da Albert Einstein, il primo condensato di Bose-Einstein venne ottenuto in laboratorio nel 1995 da due fisici statunitensi, Eric Cornell e Carl Wieman e, indipendentemente da questi, dal fisico tedesco Wolfgang Ketterle; nel 2001 il merito dei tre scienziati e l’importanza della loro scoperta sono stati riconosciuti dalla comunità scientifica internazionale con il premio Nobel per la fisica. Nel 2003, inoltre, è stato ottenuto il primo condensato molecolare, più difficile da realizzare rispetto a quello costituito da semplici atomi. Ricercatori dell’Università di Innsbruck sono stati in grado di mantenere 150.000 molecole di litio nello stesso stato energetico, per circa 20 secondi.

Secondo la teoria ondulatoria, a ogni particella è associata un’onda di materia di una lunghezza d’onda caratteristica, detta lunghezza d’onda di de Broglie. Ora, a temperatura ambiente, la lunghezza d’onda della particella è di gran lunga minore della distanza media tra le particelle, cosicché l’effetto ondulatorio è pressoché impercettibile. Abbassando di molto la temperatura del gas, diminuisce drasticamente l’energia cinetica delle particelle e, conseguentemente, aumenta la loro lunghezza d’onda di de Broglie (per il principio di indeterminazione di Heisenberg, se si conosce con maggiore precisione il momento di una particella, diventa meno precisa l’informazione sulla sua posizione, e viceversa). Così, le onde relative a ciascuna particella si sovrappongono, creando un tutt’uno indistinto e microscopico, in cui ciascuna particella è completamente indistinguibile dalle altre, in quanto caratterizzata dallo stesso stato quantico.