Funzione esponenziale

Funzione esponenziale In matematica, funzione reale che associa a ogni valore della variabile x, il valore y = a^x, dove a è un numero reale strettamente positivo e diverso da 1. Il dominio della funzione (il suo insieme di definizione) coincide con tutto il campo dei numeri reali R; il suo codominio (l’insieme delle immagini y, ossia dei valori ottenuti applicando la funzione all’intero dominio) è l’insieme di tutti i numeri reali strettamente positivi (y > 0). La funzione esponenziale è l’inversa della funzione logaritmica; è continua e derivabile su tutto R, con derivata uguale alla funzione stessa moltiplicata per una costante (y’ = a^x (ln a)). Alcune delle proprietà della funzione seguono direttamente dalle proprietà dell’operazione di elevamento a potenza e sono:

a⁰ = 1 e a¹ = a, qualunque sia il valore di a;

a^x+y = a^x.a^y e a^-x = 1/a^x, per tutti i numeri reali x e y.

Particolare importanza riveste l’esponenziale di base a = e, con e = 2,718..., il numero di Nepero. In questo caso, la funzione esponenziale si indica con la scrittura e^x, o anche exp x, e risulta l’inversa della funzione logaritmica naturale o neperiana (y = ln x).

Nel caso in cui la variabile indipendente x sia un numero complesso, si parla di funzione esponenziale complessa. Si tratta di una funzione periodica, di periodo 2p. Se x rappresenta invece un numero puramente immaginario, e quindi si può scrivere x = i k, allora vale l’uguaglianza:

ex = eik = cos k + i sen k

Quest’ultima espressione, ricavata per la prima volta da Eulero, rappresenta un numero complesso di modulo unitario; è di grande importanza in matematica applicata e viene utilizzata per descrivere svariati fenomeni fisici periodici quali la propagazione di onde o il fluire della corrente elettrica alternata.