Continuità

Continuità Proprietà di una funzione matematica reale di variabile reale che si verifica in un punto x₀ del suo dominio se, per x → c, si verifica la condizione lim f(x) = f(x₀). Se il limite della funzione nel punto c non esiste o risulta infinito, la funzione si dice discontinua in quel punto. In termini grafici, una funzione continua in un intervallo dato (in tutti i punti dell’intervallo) è tale che il suo grafico possa essere tracciato senza mai staccare la matita dal foglio. Esempi di funzioni continue sono le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale e quella logaritmica, le funzioni trigonometriche seno e coseno, e molte altre.

Quando una funzione non è continua, si possono distinguere tre tipi di discontinuità, dette rispettivamente di prima, di seconda e di terza specie. Un punto c si dice di discontinuità di prima specie per una funzione f(x) se in esso il limite della funzione risulta infinito. Un esempio di discontinuità di prima specie è costituito dal punto x = 0 per la funzione f(x) = 1/x, l’iperbole equilatera che ha per asintoti gli assi coordinati.

Si parla invece di discontinuità di seconda specie se in un punto c la funzione f(x) risulta tale che i suoi due limiti sinistro e destro (il limite per x → c^- e il limite per x → c⁺, rispettivamente) siano diversi l’uno dall’altro, sebbene entrambi finiti. Un esempio di questo tipo di discontinuità si ritrova nella funzione così definita:

f(x) = -5 per x < 0

f(x) = +5 per x ≥ 0

In questo caso, infatti, il limite per x → 0^- è pari a -5, mentre quello destro è uguale a +5. Ne risulta un gradino che segna una discontinuità per la funzione.

Si parla infine di discontinuità eliminabile, o di terza specie, per indicare un punto in cui la funzione assume un valore diverso dal risultato del suo limite. Ad esempio,

f(x) = x + 5 per x ≠ 2

f(x) = -27 per x = 2

Questo tipo di discontinuità è detto anche eliminabile perché, essendo limitato a un unico punto del dominio della funzione, può essere “eliminato” ridefinendo la funzione in quel punto. Nel caso dell’esempio, si può ridefinire la funzione nel punto x = 2, attribuendole il valore 7, pari al limite di f(x) per x → 2.