Numero di Nepero

Numero di Nepero In matematica, numero reale che si ottiene dal limite, per n tendente a infinito, dell'espressione (1 + 1/n)ⁿ. Nella tabella che segue sono riportati alcuni valori per n crescenti.

Chiamato talvolta anche numero di Eulero e indicato con la lettera minuscola e, ha un’importanza paragonabile a quella di p (pi greco), per la varietà delle sue applicazioni.

Un esame della colonna di destra della tabella mostra che, al crescere di n, il valore numerico dell'espressione si avvicina sempre più al valore limite 2,7182818285.

Un'ulteriore definizione potrebbe essere fornita dalla somma della seguente serie convergente:

Il numero di Nepero non ha un significato geometrico intuitivo come quello p, ma come quest'ultimo è un numero trascendente, cioè non può essere ottenuto come soluzione di alcuna equazione polinomiale, del tipo a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n = 0, a coefficienti razionali.

Il numero e rappresenta la base dei logaritmi naturali, o neperiani, in genere indicati con la notazione ln x, o log x, dove x rappresenta un qualsiasi numero reale positivo. La funzione inversa del logaritmo, detta esponenziale e indicata con e^x, è la sola funzione che abbia un tasso di crescita dato dalla funzione stessa (nel linguaggio del calcolo differenziale ciò si esprime dicendo che la derivata coincide con la funzione stessa) e risulta particolarmente appropriata per descrivere fenomeni di crescita e di processi evolutivi in generale. Ad esempio, ha un andamento esponenziale la funzione che rappresenta la crescita di una popolazione in ecologia, o quella che rappresenta la riduzione di un numero dato di radionuclidi nel processo di decadimento radioattivo.

In geometria, il numero e compare nelle equazioni di diverse curve; ne costituisce un esempio la catenaria, la curva il cui andamento corrisponde alla forma assunta da una corda sospesa per le sue estremità.

In una particolare rappresentazione dei numeri complessi, e appare come base di esponenziali a esponente immaginario, come nell'equazione e^ip = -1, dove i è la radice quadrata di -1.

Il numero e riveste un ruolo importante anche nella teoria delle probabilità. Ad esempio, dato un certo numero di lettere e le rispettive buste con gli indirizzi, infilando casualmente le lettere nelle buste la probabilità che ogni lettera finisca in una busta sbagliata è data da un valore molto prossimo a e^-1.

Il numero e trova applicazioni anche nella teoria dei numeri pura. Ad esempio, il numero dei primi N numeri primi, con N sufficientemente grande, è dato dall'espressione N/ln N, in cui ln N è il logaritmo naturale di N e, quindi, una funzione di e.