Numero

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Introduzione

Numero Concetto matematico elementare e intuitivo, prodotto dall'uomo fin dall'epoca preistorica per rispondere alle esigenze pratiche di contare gli elementi di un insieme e stabilire un ordine tra di essi. Il sistema dei numeri naturali, il primo a essere concepito, permette di rispondere a due domande fondamentali: quanti sono gli oggetti appartenenti a un insieme, e quale posto ciascun oggetto occupa nell'insieme, una volta che in questo sia stato definito un ordine. Nel primo caso il numero ha forma cardinale: 1, 2, …; nel secondo ha forma ordinale: primo, secondo, terzo e così via.

La necessità di stabilire un sistema di regole da utilizzare nel processo del contare e la conseguente formalizzazione delle principali relazioni dell'aritmetica hanno portato progressivamente alla precisazione del concetto di numero, inteso come ente matematico astratto.

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I numeri naturali

Il sistema dei numeri naturali è composto dallo zero e da tutti i numeri interi positivi, ottenuti aggiungendo in modo ricorsivo l'unità in una sequenza infinita: si ottiene così, dallo zero, l'uno, da questo il due ecc.

Una prima definizione rigorosa dell'insieme dei numeri naturali si basa sul sistema di assiomi introdotto alla fine del XIX secolo dal matematico italiano Giuseppe Peano. Secondo questo sistema, tutta l'aritmetica può essere dedotta, applicando i teoremi della logica pura, dai tre concetti primitivi di zero, numero e successivo, e dai cinque assiomi qui di seguito riportati.

Zero è un numero; il successivo di un numero è ancora un numero; due numeri i cui successivi siano uguali, sono essi stessi uguali; un insieme che contiene lo zero e che, contenendo un numero, contiene anche il suo successivo, contiene necessariamente tutti i numeri (principio di induzione matematica); il successivo di un numero non può mai essere lo zero.

Per quanto le definizioni delle operazioni sui numeri naturali, che tuttora rappresentano la base dell'aritmetica, non siano in contraddizione con il sistema di Peano, si preferisce adottare una seconda definizione del concetto di numero, basata su alcune nozioni fondamentali di teoria degli insiemi.

Intuitivamente, possiamo pensare che ogni numero naturale n rappresenti tutti gli insiemi possibili composti da n elementi: così, 'zero' corrisponde a tutti gli insiemi vuoti, 'uno' a tutti gli insiemi singoli, composti cioè da un solo oggetto, 'due' a tutti gli insiemi formati da una coppia di elementi, e così via (più precisamente, ciò significa che l'insieme dei numeri naturali viene definito come l'insieme delle classi di equivalenza composte da tutti gli insiemi finiti fra loro equipotenti).

In questo modo, le relazioni di uguaglianza e di ordine (maggiore o minore) tra numeri naturali, così come le operazioni aritmetiche e le loro proprietà, si fanno discendere dalle relazioni della teoria degli insiemi.

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I numeri razionali

L'insieme dei numeri naturali, composto dallo zero e da tutti gli interi positivi, è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione (ovvero la somma e il prodotto di due numeri naturali sono ancora numeri naturali); tuttavia, dal momento che la differenza (il risultato dell'operazione di sottrazione) e il quoziente (il risultato dell'operazione di divisione) di due numeri naturali non sempre sono numeri naturali, si presenta la necessità di ampliare tale sistema e di definire un nuovo insieme, contenente i numeri interi positivi e negativi e le frazioni, che risultano dalla divisione fra numeri naturali. Si ottiene in questo modo l'insieme dei numeri razionali, formato dai numeri interi – positivi e negativi – dalle frazioni – anch'esse positive e negative – e dallo zero.

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di numeri razionali forniscono sempre come risultato un numero razionale, cosicché l'insieme di questi numeri è chiuso rispetto alle principali operazioni dell'aritmetica; costituisce un'unica eccezione la divisione di un numero per zero, che fornisce un risultato indeterminato, e quindi non è permessa.

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Numeri irrazionali

La necessità di ampliare ulteriormente l'insieme dei numeri emerse dallo studio della geometria: infatti la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uguale a un'unità, così come il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo raggio, non possono essere espressi da un numero razionale. Simili considerazioni hanno portato all'introduzione del sistema dei numeri reali, composto dai razionali e dai numeri irrazionali, caratterizzati da un'espansione decimale infinita e non periodica. Sono numeri irrazionali, ad esempio, Ã = 1,4142135623... e p = 3,1415926535 …