Topologia

1

Introduzione

Topologia Ramo della geometria che indaga sulle proprietà delle figure geometriche che rimangono inalterate quando lo spazio viene incurvato, allungato, girato o, in generale, deformato in modo continuo. Le sole eccezioni alle deformazioni possibili sono la lacerazione dello spazio (“strappo”) e le modificazioni che portano punti distinti a sovrapporsi l’uno con l’altro (“sovrapposizioni”).

Mentre le proprietà di competenza della geometria sono la posizione assoluta, la distanza, il parallelismo tra rette, quelle della topologia sono la posizione relativa e la forma generale. Il concetto può essere chiarito con un esempio: una circonferenza divide un piano in due regioni, una interna e una esterna; di conseguenza, un punto esterno non può essere connesso a uno dei punti interni da una linea continua che non attraversi la curva. Se deformiamo opportunamente il piano, la circonferenza può essere “increspata”, e quindi possono variare le caratteristiche metriche, quali la lunghezza e la forma, ma la proprietà di dividere la superficie a cui appartiene in due regioni distinte si conserva inalterata; essa è infatti una proprietà topologica. In generale, le misure lineari e angolari non sono conservate quando il piano viene deformato.

2

Problemi di topologia

Un tipico esempio dei primi problemi topologici è il problema dei ponti di Königsberg: è possibile attraversare i sette ponti che connettono le due isole del fiume Pregel alla terraferma, senza attraversare due volte lo stesso ponte? (vedi figura 1).

Il matematico svizzero Eulero, dopo aver osservato che il problema era equivalente a quello di disegnare lo schema di figura 2 senza mai alzare la matita dal foglio, e senza mai passare due volte sulla stessa traccia, mostrò che esso non ammetteva soluzione.

Più in generale, Eulero dimostrò che qualunque disegno lineare continuo, come quello di figura 3, può essere tracciato con continuità senza mai ripassare due volte sulla stessa linea se e solo se lo schema non ha vertici dispari, ossia non ha punti da cui si diparte un numero dispari di linee. Poiché la figura 2 ha quattro vertici dispari, essa non è disegnabile con una sola traccia continua semplice.

Più tardi, nel corso del XIX secolo, il matematico tedesco Johann Benedikt Listing dimostrò che uno schema lineare continuo con un numero 2n di vertici dispari si può realizzare con n tracce distinte, ognuna delle quali inizia e termina in uno dei vertici dispari.

3

La topologia moderna

La topologia costituisce un campo di ricerca aperto della matematica moderna. Un problema di topologia degno di nota, e risolto solo recentemente, consiste nel determinare il numero di colori necessari perché in una comune carta geografica le regioni confinanti siano rappresentate da tinte diverse. Nel 1976 Kenneth Appel e Wolfgang Haken, con l’aiuto di un computer, dimostrarono che ne sono sufficienti quattro, a prescindere da quanto grande sia la carta e da quante regioni essa contenga.

Un ramo della topologia in cui sono tuttora irrisolti numerosi problemi è la teoria dei nodi. Un “nodo” topologico è una linea curva chiusa che non può, mediante semplici deformazioni nello spazio tridimensionale, essere trasformata in una circonferenza. Due nodi si dicono equivalenti se è possibile ottenere uno dei due dall’altro con una deformazione; in questo caso essi costituiscono, dal punto di vista topologico, lo stesso nodo. Non è ancora stato stilato un elenco delle caratteristiche dei nodi sufficiente a distinguerne tutti i tipi possibili.

Due figure geometriche, o due insiemi di punti, si dicono “omeomorfi” se è possibile stabilire tra essi una corrispondenza biunivoca e bicontinua, cioè continua in entrambe le direzioni. Un altro problema generale della topologia, ancora irrisolto tranne che in alcuni casi particolari, consiste nell’individuare un gruppo di proprietà che permettano di determinare se due figure geometriche date sono omeomorfe o meno.