Geometria non euclidea

Geometria non euclidea Geometria che si fonda sulla negazione del quinto postulato enunciato negli Elementi di Euclide. Questo postulato, che afferma che per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela a quella data, fu per molto tempo oggetto di studio e discussione. Molti matematici, tra i quali probabilmente Euclide stesso, hanno creduto che esso potesse essere una conseguenza dei quattro postulati precedenti, ma tutti gli sforzi tesi a dimostrare questa asserzione non sortirono alcun risultato positivo.

All'inizio del XIX secolo, il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, il russo Nikolaj Ivanovič Lobačevskij e l'ungherese János Bolyai, l'uno indipendentemente dall'altro, dimostrarono che è possibile costruire un sistema coerente di geometria nel quale, in luogo del quinto postulato di Euclide, sia posto l'assioma secondo cui esistono infinite rette parallele a una retta data passanti per un punto esterno a essa. In seguito, intorno al 1860, il matematico tedesco Georg Friedrich Bernhard Riemann dimostrò che era pure possibile una geometria in cui non esistessero rette parallele.

I dettagli di questi due tipi di geometria non euclidea sono piuttosto complessi, ma in entrambi i casi i concetti fondamentali possono essere compresi per mezzo di semplici modelli. La geometria di Bolyai-Lobačevskij, spesso chiamata geometria non euclidea o iperbolica, ambienta la geometria piana all'interno di una circonferenza, in cui tutte le possibili linee rette sono rappresentate dalle infinite corde. Come si può osservare in figura 1, si possono tracciare infinite corde non intersecantisi e passanti per un punto P esterno a una corda L, ossia infinite parallele alla retta L passanti per P. Analogamente la geometria riemanniana, detta anche geometria ellittica o semplicemente geometria non euclidea, è costruita sulla superficie di una sfera, e le linee rette sono rappresentate dai cerchi massimi. La figura 2 rende evidente l'impossibilità di tracciare linee parallele su questa superficie.

Per piccole distanze la geometria euclidea e le due geometrie non euclidee sono sostanzialmente equivalenti. Al contrario, nell'ambito di problemi dell'astronomia e della fisica moderna, quali la relatività e la teoria della propagazione delle onde, le geometrie non euclidee forniscono una descrizione più precisa dei fenomeni osservati. Ad esempio, la teoria della relatività sviluppata da Albert Einstein è basata sulla geometria riemanniana dello spazio curvo.