Meccanica quantistica

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Meccanica ondulatoria

Nel 1924 Louis-Victor de Broglie estese alla materia il concetto del dualismo onda-corpuscolo stabilito per la radiazione elettromagnetica, suggerendo che in determinate situazioni le particelle materiali possano mostrare un comportamento di tipo ondulatorio. La prova sperimentale di questa affermazione venne dopo pochi anni, quando i fisici americani Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer e il fisico britannico George Paget Thomson mostrarono che un fascio di elettroni diffuso da un cristallo produce una figura di diffrazione simile a quella caratteristica della diffrazione di un’onda.

L’idea di associare un’onda a ciascuna particella portò il fisico austriaco Erwin Schrödinger a formulare la cosiddetta “equazione d’onda”, con cui era possibile descrivere le proprietà ondulatorie della particella e l’evoluzione del suo moto, cosa che fu immediatamente applicata all’elettrone dell’atomo di idrogeno.

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Meccanica delle matrici

Parallelamente allo sviluppo della meccanica ondulatoria di Schrödinger, Werner Heisenberg propose, con la collaborazione dei fisici Max Born ed Ernst Pascual Jordan, un nuovo metodo di analisi basato sul calcolo matriciale. Ciascuna osservabile fisica associata a una particella corrisponde a una matrice infinita (un insieme infinito di righe e colonne di valori numerici), mentre lo stato e l’evoluzione di un sistema sono determinati dalle soluzioni di equazioni matriciali.

Per descrivere il moto dell’elettrone nell’atomo di idrogeno, ad esempio, la meccanica delle matrici associa matrici infinite a posizione e momento, e riesce a prevedere le linee dello spettro di emissione dell’idrogeno. La teoria di Heisenberg fornì gli stessi risultati della meccanica quantistica ordinaria e riuscì a spiegare alcuni fenomeni che prima sfuggivano a una descrizione teorica.

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Il principio di indeterminazione

L’impossibilità di determinare con esattezza la posizione di un elettrone a un certo istante fu analizzata da Werner Heisenberg, che nel 1927 enunciò il principio di indeterminazione. Tale principio afferma che non è possibile determinare contemporaneamente con precisione la posizione e il momento (la velocità) di una particella, ovvero che queste due grandezze non possono essere misurate simultaneamente con precisione.

Si dice quindi che la conoscenza della posizione e del momento di una particella sono complementari; in altre parole, i fisici non possono misurare la posizione x di una particella, senza alterarne il momento p. In termini matematici, il principio di indeterminazione di Heisenberg è espresso dalla relazione

Δx · Δp ≥ h/2p

Essa afferma in modo sintetico che il prodotto tra l’errore di misura sulla posizione Δx e quello sul momento Δp di una particella non può essere inferiore a una quantità fissa data dalla costante di Planck divisa per 2p.

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Risultati della teoria quantistica

Erwin Schrödinger dimostrò che la meccanica ondulatoria e la meccanica matriciale erano formulazioni diverse di una medesima teoria, oggi nota appunto come meccanica quantistica. Entrambe sono estremamente complicate dal punto di vista algebrico e matematico, anche per un sistema semplice come l’atomo di idrogeno: è comunque quasi sempre possibile calcolare in modo esatto almeno gli stati di energia permessi. Accanto alla descrizione formale completa si può inoltre ottenere un’analisi qualitativa soddisfacente capace di fornire, anche se in modo approssimato, le principali informazioni sul sistema.

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Da traiettoria a funzione d’onda

Il problema classico di determinare la traiettoria del moto di un corpo perde di senso in meccanica quantistica. Se infatti, come afferma il principio di indeterminazione, non è possibile conoscere con precisione la posizione e il momento di una particella, non è neppure possibile definire la sua traiettoria intesa in senso classico. La descrizione del moto in meccanica quantistica assume allora tutta un’altra forma: si ricorre al concetto di campo di materia, o di distribuzione di probabilità della particella.

Nella formulazione matematica della teoria proposta da Schrödinger, a ogni particella può essere associata una funzione della posizione e del tempo, generalmente indicata con la lettera greca Ψ e denominata funzione d’onda, che rappresenta la distribuzione del campo di materia della particella in un dato istante. Ad esempio, la funzione d’onda dell’elettrone dell’atomo di idrogeno è:

dove a rappresenta il raggio di Bohr, vale a dire il raggio dell’orbita circolare percorsa dall’elettrone nel modello di Bohr. Il significato della funzione d’onda è in un certo senso di tipo statistico: il suo modulo al quadrato rappresenta infatti la distribuzione di probabilità della particella. Ad esempio, per l’elettrone dell’atomo di idrogeno la distribuzione di probabilità assume la forma:

In questo grafico il nucleo dell’atomo si trova idealmente all’origine degli assi; dall’analisi della curva si evince che la probabilità di trovare l’elettrone molto vicino al nucleo è pressoché nulla; al crescere della distanza da esso la probabilità aumenta, fino a raggiungere un picco in corrispondenza del valore del raggio di Bohr.

Nell’ambito della fisica classica, il grafico analogo sarebbe stato un solo punto in corrispondenza del raggio atomico di Bohr (a) e avrebbe espresso la certezza (la probabilità massima) di trovare l’elettrone alla distanza a dal nucleo. Il problema classico della risoluzione dell’equazione del moto di una particella si trasforma quindi nella determinazione della sua funzione d’onda, vale a dire, nella risoluzione dell’equazione di Schrödinger, di cui la funzione d’onda Ψ è l’incognita.

L’equazione di Schrödinger, a eccezione di pochi casi particolari che meriterebbero una discussione a parte, ammette solo un numero discreto di soluzioni (autofunzioni); ciascuna di esse corrisponde a una regione definita dello spazio in cui la particella può trovarsi ed è un’espressione matematica in cui compaiono i cosiddetti “numeri quantici”, numeri interi che esprimono il valore assunto da determinate grandezze caratteristiche del sistema, quali l’energia o il momento angolare.

L’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno diede risultati in sostanziale accordo con quelli di Bohr e l’equazione si applicò con successo anche all’atomo di elio. Inoltre confermò sul piano formale il principio di esclusione, enunciato da Wolfgang Pauli nel 1925 su base empirica: il principio stabilisce che due elettroni non possono possedere lo stesso insieme di numeri quantici, ovvero condividere esattamente lo stesso livello di energia.