Coniche

Coniche In geometria, tutte le curve generate dall'intersezione di un piano con la superficie di un cono circolare retto con le falde (ciascuna delle due parti opposte al vertice) infinitamente estese. Si consideri un cono, e sia a l'angolo compreso fra l'asse del cono e la sua generatrice. Se il piano secante forma con l'asse un angolo maggiore di a, l'intersezione che ne risulta è una curva chiusa detta ellisse; in particolare se il piano è perpendicolare all'asse, l'intersezione definisce una circonferenza, che si può considerare come una forma degenere di ellisse.

Nel caso in cui il piano formi con l'asse del cono un angolo esattamente uguale ad a, e quindi risulti parallelo alla superficie del cono, l'intersezione è una curva aperta infinitamente estesa, detta parabola.

Infine, se il piano secante è inclinato rispetto all'asse del cono di un angolo minore di a, e non passa per il vertice del cono, la curva che ne risulta è un'iperbole.

Entrambe le falde del cono vengono necessariamente intersecate dal piano, quindi l'iperbole è formata da due rami distinti, ciascuno dei quali infinitamente esteso.

Poiché le coniche sono curve piane, o bidimensionali, talvolta può essere più opportuna una definizione che non coinvolga il cono, che è invece una figura solida e tridimensionale. Nel piano, una conica è un insieme di punti la cui distanza da un punto fisso, che prende il nome di fuoco, è in rapporto costante con la distanza da una retta assegnata esterna al fuoco, detta direttrice. Tale rapporto esprime l'eccentricità della conica, e si indica generalmente con la lettera e. Detto P un punto generico, Q la proiezione del punto P sulla direttrice, e F il fuoco (vedi figura 4), il punto P appartiene alla conica se e solo se [FP] = e[QP], dove [FP] e [QP] sono le distanze tra i punti indicati. Se e = 1, la conica è una parabola; se e > 1, è un'iperbole; se invece e < 1, è un'ellisse.

Le coniche godono di numerose proprietà che le rendono utili e importanti nel campo della fisica matematica. Ad esempio, l'orbita descritta da un qualunque oggetto astronomico, come un pianeta o una cometa in moto intorno al Sole, è sempre una conica. La riflessione della luce o del suono su specchi a sezione conica ha caratteristiche particolari: i raggi (o le onde sonore) diffusi in tutte le direzioni dal centro di uno specchio a sezione circolare vengono riconvogliati nel centro; i raggi diffusi in tutte le direzioni da uno dei due fuochi di un ellissoide vengono riflessi nell'altro fuoco; i raggi diffusi dal fuoco di uno specchio parabolico vengono riflessi a formare un fascio di raggi paralleli; infine, quelli emessi da uno dei due fuochi di uno specchio iperbolico vengono riflessi in modo caratteristico e sembrano emessi direttamente dall'altro fuoco.