Successioni e serie

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Introduzione

Successioni e serie In matematica, una successione è una sequenza ordinata di elementi di un insieme dato; una serie è la somma dei termini di tale sequenza. L’insieme può essere, secondo i casi, il campo dei numeri reali, quello dei numeri complessi o, ancora, lo spazio delle funzioni; si parla allora, rispettivamente, di successioni e serie numeriche (reali o complesse), o di successioni e serie di funzioni. L’argomento rappresenta una branca estremamente importante della matematica moderna, a cui si dedicarono, all’inizio del XIX secolo, matematici di fama come Niels Abel, Augustin-Louis Cauchy e Carl Frederick Gauss; trova importanti applicazioni in numerosi campi scientifici.

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Successioni numeriche

Una successione numerica (u_n) è una sequenza ordinata di elementi (u₁, u₂, u₃, ... u_n , ...), ciascuno dei quali posto in relazione biunivoca (uno a uno) con un elemento dell’insieme dei numeri naturali, che ne rappresenta l’indice. Più rigorosamente, una successione è una funzione definita nell’insieme dei numeri naturali, con valori appartenenti al campo dei numeri reali o complessi.

Secondo il modo in cui è rappresentata e definita, una successione si dice ricorsiva o non ricorsiva. Una successione ricorsiva si definisce specificando il valore dei primi termini in modo esplicito, e il termine generale u_n in funzione dei termini di ordine precedente; ad esempio, è una successione ricorsiva quella che ha come primo termine u₀ = 1, e come termine generale u_n+1 = 2u_n + 6: 1, 8, 22, 50, ..., ecc. Una successione non ricorsiva, invece, si definisce mediante una relazione che esprime il termine generale u_n in funzione della variabile n; ad esempio, u_n = 2n + 1 (per tutti gli n maggiori o uguali a zero) per la serie di tutti i numeri dispari: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... , ecc.

2.1

Definizioni

Una successione si dice finita o infinita secondo che sia composta da un numero finito o infinito di termini. Ad esempio, è finita la successione costituita da tutti e soli i numeri naturali compresi tra 1 e 100; al contrario, è infinita la successione di tutti i numeri pari: u_n = 2n. Un altro esempio di successione infinita è la successione di Fibonacci: dati i primi due termini, che sono 0 e 1, ciascuno degli altri elementi è dato dalla somma dei due precedenti, secondo la relazione ricorsiva u_n = u_n-2 + u_n-1; in definitiva, la successione risulta 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., ecc.

Una successione si dice crescente se ogni termine è maggiore del precedente; decrescente, se ogni termine è minore del precedente.

2.2

Convergenza

Può essere utile determinare il comportamento di una successione calcolandone il limite per n che tende all’infinito. Possono presentarsi tre casi diversi: la successione può ammettere limite infinito, e dirsi quindi divergente. Un esempio è quello della successione u_n = n²: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... , ecc; il valore di u_n aumenta indefinitamente, tendendo all’infinito. Altrimenti, la successione può non ammettere limite, come nel caso di una successione a termini oscillanti: ad esempio, u_n = (-1)ⁿ che, al crescere di n, assume in modo alterno i due valori -1, +1, senza mai stabilizzarsi su un andamento regolare. Infine, può ammettere limite finito e dirsi quindi convergente. Più precisamente, si dice che una successione (u_n) converge a un numero reale L se il limite di u_n per n che tende all’infinito è L. Intuitivamente, la convergenza di una successione consiste nel fatto che da un certo ordine n in poi, tutti i termini si avvicinano sempre di più al valore L. Ad esempio, la successione armonica, definita come u_n = 1/n e u₀ = 1, converge al valore L = 0: al procedere di n, u_n assume valori sempre più piccoli (1, ½, 1/3, ¼, 1/5...), che si addensano in prossimità del valore limite L = 0.