Limite

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Introduzione

Limite Concetto matematico proprio del calcolo infinitesimale, che permette di esprimere il comportamento di una funzione quando la sua variabile indipendente tende indefinitamente a un valore prefissato. Il concetto, formalizzato in modo rigoroso nel XIX secolo da Augustin-Louis Cauchy e Karl Weierstrass, era già comparso in forma embrionale nella matematica greca e, successivamente, negli scritti di Eulero.

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Definizione

Data una funzione reale di variabile reale f(x), il valore L è il limite di f(x) per x che tende a x₀, se vale la seguente proprietà: presa una qualunque quantità e positiva, esiste δ (una quantità dipendente da e), tale che per tutti i valori di x che soddisfano la relazione |x – x₀| minore di δ, vale la disuguaglianza: |f(x)-L| minore di e.

Il punto x₀, a cui tende la variabile indipendente, deve essere un punto di accumulazione per la funzione. Questo significa che, in un qualunque intorno di x₀ (in un qualunque intervallo contenente x₀), deve esistere almeno un altro punto del dominio della funzione, distinto da x₀ stesso. In altre parole, x₀ si dice punto di accumulazione per f(x) se intorno a esso si “accumulano” numerosi punti x appartenenti all’insieme di definizione della funzione.

Se una funzione è continua in un suo punto, il limite per x che tende a x₀ coincide con il valore f(x₀) che la funzione assume in quel punto. Se invece la funzione non è continua nel punto x₀, a seconda della natura della discontinuità il limite per x che tende a x₀ può assumere un valore finito diverso da f(x₀), oppure può tendere all’infinito.

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Limite di successioni

Il concetto di limite può essere applicato anche a successioni, vale a dire, a funzioni la cui variabile dipendente può assumere solo valori interi positivi. In questo caso, poiché l’unico punto di accumulazione è l’infinito, il limite si calcola unicamente per n che tende all’infinito; a seconda che tale limite risulti finito o infinito, si parla di successione convergente o divergente.

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Calcolo e forme di indecisione

In genere, il calcolo dei limiti si effettua procedendo alla sostituzione del valore x₀ a cui tende la variabile indipendente, nell’espressione della funzione (o della successione). In alcuni casi, si possono presentare le cosiddette forme di indecisione, o di indeterminazione, in cui la sostituzione porta a risultati non definiti, come 0/0, 0·infinito, infinito/infinito, infinito – infinito; in questi casi si deve ricorrere ad artifici di calcolo che eliminino la forma di indecisione e permettano di pervenire al risultato.