Triangolo

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Introduzione

Triangolo Parte del piano delimitata da una poligonale chiusa, costruita congiungendo tre punti distinti, detti vertici, con tre segmenti, che prendono il nome di lati; questi ultimi sono segmenti di retta nella geometria piana euclidea e archi di cerchi massimi nella geometria sferica. Il termine triangolo, comunque, viene talvolta usato per indicare una qualsiasi figura geometrica avente tre vertici connessi da segmenti di curve arbitrarie, come è rappresentato in figura 11.

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Triangoli piani

Un triangolo piano euclideo è un poligono caratterizzato da sei elementi geometrici: i tre lati, ovvero i tre segmenti che hanno estremi nei vertici del triangolo, e i tre angoli interni, ciascuno dei quali è compreso tra due lati consecutivi. Convenzionalmente, i vertici vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto; i lati con le lettere dei vertici che ne individuano gli estremi; gli angoli con le tre lettere dei vertici, scritte in un ordine tale che compaia al centro la lettera del vertice corrispondente all'angolo che si vuole indicare; ad esempio, CÂB indica l'angolo interno situato nel vertice A e opposto al lato BC del triangolo rappresentato in figura 1. È pure di uso comune indicare i lati, e anche la loro misura, espressa in un'opportuna unità di misura lineare, con le lettere minuscole corrispondenti ai vertici opposti; ad esempio, sempre con riferimento alla figura 1, il lato BC, opposto al vertice A e all'angolo CÂB , può essere indicato anche con la lettera minuscola a. Gli angoli delimitati da un lato del triangolo e dal prolungamento del lato consecutivo, come FÊG in figura 2, sono detti angoli esterni; a ogni angolo interno, quindi, sono associati due angoli esterni a esso supplementari.

Ricorrendo alle proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, è semplice dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180°; come conseguenza di ciò, un triangolo può contenere al più un angolo retto o maggiore di 90°. In particolare, un triangolo si dice acutangolo se ha tutti gli angoli acuti, rettangolo se uno dei suoi angoli è retto, ottusangolo se uno degli angoli è ottuso. Nelle figure 1, 2 e 3 sono disegnati rispettivamente un triangolo acutangolo, uno ottusangolo e uno rettangolo.

In base ai lati, invece, un triangolo è detto equilatero o isoscele, a seconda che abbia tre o due lati di uguale lunghezza; se invece le lunghezze dei tre lati sono disuguali, il triangolo è detto scaleno. In generale, ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Inoltre, è semplice dimostrare che, se due lati di un triangolo sono di misura diversa, i rispettivi angoli opposti sono pure disuguali, e al lato maggiore è opposto l'angolo più ampio; viceversa, se due angoli sono disuguali, all'angolo maggiore è opposto il lato più lungo.

Dalle affermazioni precedenti, seguono immediatamente le seguenti proposizioni: i tre angoli di un triangolo scaleno sono tutti disuguali; gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali; i tre angoli di un triangolo equilatero sono uguali; l'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto di un triangolo rettangolo, è maggiore di ciascuno dei due cateti.

In qualunque triangolo, si dice altezza la semiretta condotta da un vertice e perpendicolare al lato opposto, ad esempio DX nella figura 6a; mediana la semiretta uscente da un vertice e passante per il punto medio del lato opposto, AN in figura 7; bisettrice di un angolo interno, la semiretta che parte da un vertice e divide l'angolo in due parti uguali e, analogamente, bisettrice di un angolo esterno la semiretta che passa per il vertice e divide l'angolo esterno adiacente in due parti uguali: esempio di bisettrici di un angolo interno e di uno esterno sono, rispettivamente, AR e CU nella figura 8; infine si definisce asse di un lato, la retta perpendicolare a esso e passante per il suo punto medio, ad esempio HK in figura 9. Spesso i termini altezza, mediana e bisettrice sono usati impropriamente anche per indicare i segmenti delle rispettive semirette delimitati dal vertice e dall'intersezione della semiretta stessa con il lato opposto al vertice.

I punti di intersezione delle altezze, delle mediane, delle bisettrici degli angoli interni ed esterni, e degli assi sono i cosiddetti punti notevoli del triangolo; in particolare, il punto di incontro delle altezze prende il nome di ortocentro e può essere esterno al triangolo; l'intersezione delle mediane individua invece un punto, detto baricentro, che divide ogni mediana in due segmenti, di cui quello contenente il vertice è doppio dell'altro; le bisettrici degli angoli interni si intersecano in un punto chiamato incentro (I in figura 8), mentre le bisettrici degli angoli esterni danno luogo a tre intersezioni distinte, dette excentri (i punti U, V, W della figura 8). L'incentro, essendo l'unico punto equidistante dai tre lati, è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo, cioè della circonferenza interna tangente ai tre lati, come è evidente in figura 8; i tre excentri sono invece i centri delle tre circonferenze tangenti esternamente a un lato e ai prolungamenti degli altri due lati del triangolo. Il punto di intersezione dei tre assi dei lati, infine, è detto circocentro e coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, come è illustrato in figura 9.

Detti a, b e c i lati di un triangolo, e h_a l'altezza uscente dal vertice A, l'area K è data dalla formula K = ya·h_a. Esistono numerose altre relazioni fra gli elementi di un triangolo, espressi da altrettante formule.

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Triangoli sferici

Molte proprietà dei triangoli piani hanno un equivalente nei triangoli della geometria non euclidea pur essendo profondamente diverse. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo varia tra 180° e 540° e dipende dalle dimensioni e dalla forma specifica del triangolo. Esistono quindi triangoli sferici con uno, due o tre angoli retti, detti rispettivamente rettangoli, birettangoli o trirettangoli. Un triangolo sferico in cui uno, due o tutti e tre i lati abbiano lunghezza pari alla quarta parte di una circonferenza è chiamato, rispettivamente, triangolo quadrantale, biquadrantale o triquadrantale.