Algebra lineare

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Introduzione

Algebra lineare Ramo della matematica pura, introdotto dal britannico Arthur Cayley nel 1858, che si occupa della soluzione dei sistemi di equazioni lineari e che trova un gran numero di applicazioni nelle discipline scientifiche, per la risoluzione di problemi di fisica e di ingegneria, e nelle scienze sociali.

In particolare l’algebra lineare studia le proprietà di quegli insiemi fra i cui elementi siano state definite un’operazione di addizione, un’operazione di moltiplicazione, e la moltiplicazione per gli elementi di un altro insieme, definito campo (esempi comuni di campo sono l’insieme dei numeri reali, quello dei numeri naturali, quello dei numeri razionali ecc.).

Spazi di questo tipo sono, ad esempio, gli spazi vettoriali, gli spazi di matrici e gli spazi costituiti da tutte le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale n-dimensionale in se stesso.

Gli elementi e le operazioni di tali spazi godono di proprietà simili, che permettono di stabilire un isomorfismo, ovvero una corrispondenza, fra elementi di spazi diversi.

In questo modo diventa possibile, ad esempio, risolvere i sistemi di equazioni lineari utilizzando le proprietà delle matrici.

In matematica, spesso il termine algebra lineare viene ristretto a indicare proprio la struttura matematica costituita da un insieme con le caratteristiche sopra descritte e dalle operazioni su di esso definite.

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Sistemi di equazioni lineari

La risoluzione dei sistemi di equazioni lineari si configura come uno dei risultati più importanti e più comunemente utilizzati dell’algebra lineare.

Date m equazioni in n incognite x₁, ..., x_n, ad esempio

sia A la matrice m×n dei coefficienti, data da (A)_ij = a_ij (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n), e sia

Le equazioni possono allora essere scritte in forma matriciale come AX = B, e risolte (ove possibile) per mezzo di questa equazione matriciale. Ad esempio, se m = n e il determinante di A, det(A), è diverso da 0, si può concludere che esiste un'unica soluzione data da X = A^-1B.