Sistemi di numerazione

1

Introduzione

Sistemi di numerazione In matematica, sistemi notazionali diversi che sono stati utilizzati o sono tuttora in uso per rappresentare le quantità astratte dette numeri. Un sistema di numerazione è definito dalla base, cioè dal numero di simboli, o di cifre numeriche, utilizzate dal sistema stesso per rappresentare la serie infinita dei numeri. Così il sistema decimale universalmente adottato (tranne che nei computer), richiede dieci cifre diverse per rappresentare tutti i numeri, ed è quindi un sistema a base 10.

Nel corso della storia sono stati introdotti diversi sistemi di numerazione, dettati di volta in volta dalle specifiche esigenze dei vari popoli. Poiché ogni numero maggiore di 1 può essere usato come base, esiste effettivamente un ampio spettro di possibilità nella scelta di un sistema di numerazione. Alcune culture si sono avvalse di sistemi basati sui numeri 3, 4 o 5; i babilonesi, di un sistema sessagesimale, vale a dire basato sul numero 60, mentre i romani usavano, in particolare per alcuni scopi, un sistema duodecimale, basato sul numero 12. Il sistema numerico in uso presso i maya era quello vigesimale, basato sul numero 20. Infine, il sistema binario, con base 2, è il sistema impiegato nei computer.

2

Valore della posizione

La posizione di un simbolo all'interno di un numero indica la quantità che esso esprime, o più precisamente l'esponente che bisogna dare alla base per ottenere la quantità corretta. Ad esempio, nel sistema decimale, la quantità rappresentata dai simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 dipende dalla posizione che ciascuno di essi assume all'interno del numero: la prima cifra a destra rappresenta le unità, o il coefficiente di 10⁰, la seconda le decine, 10¹, la terza le centinaia, 10², e così via. Così, il numero 3.098.323 è una rappresentazione abbreviata di (3 × 10⁶) + (0 × 10⁵) + (9 × 10⁴) + (8 × 10³) + (3 × 10²) + (2 × 10¹) + (3 × 10⁰, o 3 × 1). Il primo 3 (leggendo da destra a sinistra) rappresenta 3 unità; il secondo 3, sta per 300 unità, o 3 centinaia; infine il terzo 3, per 3 milioni di unità.

Per rappresentare un numero nel sistema binario, o in base 2, sono sufficienti le due cifre 0 e 1; nel sistema in base 6 si usano invece i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5; nel sistema esadecimale le 16 cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (dieci), B (undici), C (dodici), ..., F (quindici). Il numero 30.155 nel sistema in base 6 è il numero (3 × 6⁴) + (0 × 6³) + (1 × 6²) + (5 × 6¹) + (5 × 6⁰) che equivale a 3959 nel sistema decimale; il numero 2EF del sistema esadecimale è il numero (2 × 16²) + (14 × 16¹) + (15 × 16⁰) = 751 del sistema decimale.

Per esprimere un numero n, dato in base 10, in forma di numero in base b, è necessario dividere n per b, dividere il quoziente per b, il nuovo quoziente per b, e così via, fino a ottenere il quoziente 0. I resti di ogni operazione sono le cifre dell'espressione in base b del numero n. Ad esempio, per esprimere 3959 (base 10) in base 6, si scrive

da cui si vede che 3959₁₀ = 30155₆, in cui il pedice del numero indica appunto la base adottata. Maggiore è la base, maggiore è il numero di simboli richiesti, ma minore è il numero di cifre necessarie per esprimere un numero dato.

3

Sistema binario

Il sistema binario si basa sulle due cifre 1 e 0. I primi 20 numeri della notazione binaria sono 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, dove, procedendo da destra verso sinistra, i singoli simboli rappresentano i coefficienti delle potenze successive di due. Ad esempio, cominciando da destra, 10101101 equivale a (1 × 2⁰) + (0 × 2¹) + (1 × 2²) + (1 × 2³) + (0 × 2⁴) + (1 × 2⁵) + (0 × 2⁶) + (1 × 2⁷) = 173.

Le operazioni aritmetiche nel sistema binario sono estremamente semplici. Le regole fondamentali sono: 1 + 1 = 10, e 1 × 1 = 1. Lo zero svolge il suo ruolo abituale: 1 × 0 = 0, e 1 + 0 = 1. L'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione vengono eseguite in modo simile a quello del sistema decimale:

Come è noto, il sistema binario è quello utilizzato nei sistemi informatici. Poiché la base è costituita da sole due cifre (o bit), 0 e 1, ogni numero binario può essere fatto corrispondere alla posizione di una serie di interruttori, in cui la posizione on corrisponde alla cifra 1, la posizione off a 0. In alternativa, anziché interruttori si possono usare dei punti magnetizzati su un nastro o un disco magnetico (comuni sistemi di registrazione): un punto magnetizzato rappresenta la cifra 1, l'assenza di un punto magnetizzato la cifra 0. Anche i flip-flop, i dispositivi elettronici che possono portare solo due tensioni distinte in uscita e in cui si può passare dall'una all'altra tensione mediante un impulso, possono rappresentare dei numeri nel sistema binario. I circuiti logici dei computer eseguono le diverse operazioni aritmetiche tra i numeri binari, e la conversione dai numeri decimali a quelli binari per l'elaborazione, e dai binari ai decimali per la lettura, vengono eseguite elettronicamente.