Equazione

Equazione In matematica, uguaglianza tra due espressioni comprendenti almeno una variabile incognita, soddisfatta in genere solo per opportuni valori di questa. Le equazioni sono di estrema importanza in quasi tutti i campi della matematica applicata, in particolare nelle scienze fisiche, biologiche e sociali. L'incognita, o eventualmente le incognite, vengono indicate in genere con le ultime lettere dell'alfabeto, spesso con x, y o z, come ad esempio nelle equazioni x² + x - 4 = 8, y = sin x + x, e 3y = log x. Un'equazione si dice a una, due, tre o più variabili, a seconda del numero di incognite che essa contiene; così, la prima delle equazioni scritte sopra è a una variabile, le altre sono entrambe a due variabili.

La soluzione di un'equazione è data dall'insieme di valori, detti radici, che sostituiti alle incognite rendono vera l'uguaglianza o, in altri termini, la riducono a un'identità. Ad esempio, la radice dell'equazione 2x + 5 = 13 è x = 4; infatti, sostituendo 4 alla variabile x si ottiene l'identità 13 = 13 e l'uguaglianza è soddisfatta; analogamente, la coppia di valori x = 2 e y = 4 rappresenta una delle possibili soluzioni dell'equazione a due variabili 3x² + 4y = 28. Un'equazione soddisfatta da tutti i possibili valori delle variabili è un'identità. Ad esempio, (x + y)² = x² + 2xy + y² e sin² x + cos²x = 1 sono identità, poiché sono entrambe vere per tutti i possibili valori delle incognite.

Un'equazione si dice polinomiale se è del tipo

a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0

dove i coefficienti a₀, a₁,..., a_n sono costanti; il numero n, un intero positivo che rappresenta il massimo esponente dell'incognita, determina il grado dell'equazione. Le equazioni di primo, secondo e terzo grado, corrispondenti a valori di n uguali rispettivamente a 1, 2 e 3, vengono spesso chiamate anche equazioni lineari, quadratiche e cubiche (vedi Teoria delle equazioni).

Importanti tipi di equazioni sono quelle algebriche, ad esempio x + x/7 = 14; quelle trigonometriche, come sin x + cos 2x = y; quelle logaritmiche, come log x + 2 log (x + 1) = 8, e infine quelle esponenziali, come 3^x + 2x - 5 = 0.

Le equazioni diofantee sono equazioni a una o più incognite a coefficienti interi, di cui si cercano solo soluzioni intere. Nell'ambito del calcolo infinitesimale si risolvono equazioni differenziali e integrali: in esse l'incognita non è una semplice variabile, ma un'intera funzione, che compare sotto forma di derivata o di integrale.

Un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni in più incognite; in questo caso la soluzione è data dall'insieme di valori delle incognite che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.