Moltiplicazione

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Introduzione

Moltiplicazione Operazione dell’aritmetica che consiste in un'addizione ripetuta: gode della proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto all’addizione; inoltre esiste un elemento neutro (l'unità) che, moltiplicato per qualsiasi numero, lascia il numero stesso invariato. Si indica con il segno ×, con un puntino, o anche solo mediante l'uso di parentesi che separano i fattori dell'operazione, detti rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore. Il risultato dell'operazione prende il nome di prodotto e rappresenta il numero che si ottiene sommando il moltiplicando a stesso, tante volte quanto è indicato dal moltiplicatore. Per effettuare calcoli con numeri elevati, l'aritmetica fornisce delle procedure che semplificano l'operazione di somma ripetuta ma, come nell'addizione, è necessario ricordare a memoria i prodotti elementari tra gli interi compresi tra 0 e 9, riportati nella seguente tabella.

Per eseguire il prodotto di due numeri qualunque compresi tra 0 e 9 si individua il moltiplicando nella colonna verticale a sinistra della tabella, il moltiplicatore nella riga orizzontale al di sopra della tabella: il risultato è dato dal numero posto nella posizione corrispondente all'intersezione tra la colonna e la riga individuate. Ad esempio, 7 × 8 = 56.

Per eseguire il prodotto tra due numeri è necessario incolonnarli come nell'esempio che segue:

Ogni cifra del moltiplicando viene moltiplicata dal moltiplicatore, in questo caso 4, e i risultati parziali vengono sommati per ottenere quello finale, 1544:

Quest'operazione può essere velocizzata riportando le cifre delle decine e delle centinaia, come si fa nell'addizione:

Si moltiplica 6 per 4, ottenendo 24: si scrive il 4 nella posizione delle unità del risultato finale, mentre il 2, che indica due decine (ossia 20), viene riportato sulla colonna delle decine, come si fa nell'addizione. Si moltiplica poi la cifra delle decine, 8 (che indica 80), per 4, ottenendo per risultato 32 (ovvero 320), a cui si somma il 2 (ossia 20) del riporto, col risultato di 34 decine, ovvero 340: questa cifra possiede 4 decine e 3 centinaia, perciò il 4 va scritto nella posizione delle decine del risultato finale, mentre il 3 si riporta sopra la colonna delle centinaia. Infine, si moltiplica per 4 il 3 (che significa 300) delle centinaia del moltiplicando, ottenendo 12 (ovvero 1200): a questa cifra si aggiungono le 3 centinaia del riporto, ottenendo 15 (ovvero 1500), che va scritto nella posizione delle centinaia del totale:

Quando il moltiplicatore è a più cifre, si applica un procedimento analogo. Ciascuna cifra del moltiplicatore, moltiplicata per il moltiplicando, dà un prodotto parziale: il totale si ottiene dalla somma di tutti i prodotti parziali. Ad esempio, il prodotto seguente si inizia con la moltiplicazione per il 3 del moltiplicatore:

Poi si moltiplica il 9 per 6 e, poiché il 6 del moltiplicatore in effetti vale 6 decine, ossia 60, si scrive il 4 del 54, che indica appunto le 4 decine di 540, sotto la colonna delle decine del precedente al prodotto parziale. Il 5 si riporta come d'abitudine. Poi si moltiplica per 6 il 7 delle decine del moltiplicando, operazione che fornisce 42, a cui si somma il 5 del riporto, ottenendo 47 (in realtà il procedimento equivale a eseguire 60 × 70 e aggiungere 500, per ottenere 4700). Si scrive 7 sotto la colonna delle centinaia del primo prodotto parziale (ossia direttamente a sinistra del 4 di questo prodotto parziale), riportando il 4 delle migliaia. Si continua moltiplicando le 5 centinaia del moltiplicando per 6 (ovvero 500 × 60 = 30.000), ottenendo 30, che ora significa appunto 30 migliaia, a cui vanno sommate le 4 migliaia del riporto precedente. Il prodotto totale si ottiene sommando i due prodotti parziali, così come sono stati incolonnati.

Ciascuna cifra del moltiplicatore dà luogo a un prodotto parziale, ognuno dei quali si posiziona spostato a sinistra rispetto al precedente, per tenere conto della cifra del moltiplicatore per cui viene calcolata la moltiplicazione. Il procedimento può essere compreso facilmente pensando che in realtà il secondo prodotto parziale, ottenuto dalla moltiplicazione con la cifra delle decine del moltiplicatore, nasconde un fattore 10, e che per esteso si dovrebbe scrivere:

Con questo procedimento, resta agevole eseguire moltiplicazioni anche quando i termini dell'operazione sono a molte cifre.

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Elevazione a potenza

Un numero scritto in posizione di apice rispetto a un altro prende il nome di esponente e indica l'operazione di elevamento a potenza, ossia la moltiplicazione ripetuta di un numero per se stesso. Ad esempio, 5 · 5 si può scrivere 5², e si legge 'cinque alla seconda'; analogamente, 5 · 5 · 5 = 5³, o 'cinque alla terza'.