Ellisse

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Introduzione

Ellisse Curva chiusa generata dall’intersezione tra un cono circolare retto e un piano obliquo formante con l’asse del cono un angolo maggiore della sua semiapertura. Questa definizione permette di classificare l’ellisse come una conica.

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L’ellisse in geometria analitica

In geometria analitica l’ellisse si definisce come il luogo geometrico dei punti P del piano tali che la somma delle loro distanze, d₁ e d₂, da due punti fissi F e F', detti “fuochi”, sia costante.

La definizione permette di disegnare facilmente la figura: se si fissano due puntine su un foglio nella posizione dei fuochi e si lega a esse una cordicella di lunghezza maggiore della distanza focale (FF'), una matita che, muovendosi nel piano, tiene tesa la corda, traccia un’ellisse.

2.1

Equazione generale dell’ellisse

Nel piano cartesiano, l’ellisse ammette equazione generale della forma

dove a e b sono i due semiassi, ossia la semilunghezza dei due segmenti perpendicolari individuati dalle intersezioni dell’ellisse con gli assi cartesiani. Il parametro a che compare nell’equazione generale è il semiasse orizzontale, b il semiasse verticale. Se a > b l’ellisse è disposta orizzontalmente; se a < b è disposta verticalmente; nel caso in cui a = b, l’ellisse si riduce alla circonferenza di centro O e raggio a = b = r.

Ogni ellisse è simmetrica sia rispetto all’asse maggiore, ovvero alla linea retta passante per i fuochi e prolungata fino a incontrare la curva da entrambe le parti, sia rispetto all’asse minore, ovvero alla retta perpendicolare all’asse maggiore, condotta per il punto medio del segmento che congiunge i due fuochi.

2.2

Eccentricità

L’eccentricità (simbolo e) è il parametro che permette di esprimere in modo quantitativo la forma di un’ellisse ed è definita come il rapporto tra la distanza tra i fuochi e l’asse maggiore. Può assumere tutti i valori compresi tra 0 e 1, estremi esclusi. I due estremi rappresentano i casi limite: il valore e = 0 corrisponde a una circonferenza, in cui i due fuochi dell’ellisse vengono a coincidere nel centro e i due assi, di uguale lunghezza, vengono a essere due generici diametri; il valore e = 1 corrisponde a una parabola. Tutti gli altri valori, considerati in ordine via via crescente, corrispondono a ellissi via via più allungate (“eccentriche”).