Frattale

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Introduzione

Frattale Figura geometrica che presenta una struttura complessa e dettagliata a ogni livello di ingrandimento. I frattali godono della proprietà di invarianza di scala; in altre parole, sono autosimilari, cioè ogni loro piccola porzione può essere vista come una riproduzione su scala ridotta dell’intera figura; ingrandendo un dettaglio della figura infinite volte, si scoprono sempre nuovi dettagli, tutti di forma simile alla figura presa nel suo insieme.

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Il fiocco di neve di Koch

Per capire meglio i frattali e le loro caratteristiche, ne esaminiamo brevemente uno dei più noti, la curva a “fiocco di neve” di Koch, che ha il vantaggio di poter essere costruito in modo molto semplice. Preso un triangolo equilatero, si divide ogni lato in tre parti di uguale lunghezza e su ciascuno dei segmenti intermedi che così si individuano si costruisce un nuovo, più piccolo, triangolo equilatero. La figura che si ottiene somiglia a una stella a sei punte. Ripetendo il procedimento un numero idealmente infinito di volte su ciascuno dei segmenti che ogni volta si vengono a definire, si ottiene un frattale: una figura di area finita, ma delimitata da un perimetro di lunghezza infinita e caratterizzata da un numero infinito di vertici.

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La nascita dei frattali

La geometria dei frattali nacque negli anni Settanta del XX secolo. Il matematico francese di origine polacca Benoît B. Mandelbrot, che ne è considerato il fondatore, aveva indirizzato i suoi studi alla ricerca di un sistema geometrico capace di descrivere le forme naturali in modo più efficace di quanto non facesse la geometria euclidea. Quest’ultima, infatti, a suo parere descrive le proprietà di figure astratte di forma regolare e non si presta quindi a descrivere l’irregolarità di forme quali i profili frastagliati di una linea costiera, i rami di un albero o l’infiorescenza di un cavolfiore.

Fu Mandelbrot a definire in modo rigoroso i frattali e le loro caratteristiche. Il suo nome è legato a uno degli insiemi di frattali più celebri che si conoscano, gli “insiemi di Mandelbrot”. Prima di lui un altro matematico francese, Gaston Julia, nel 1918, aveva pubblicato un articolo sull’iterazione delle funzioni razionali, che solo sessant’anni più tardi sarebbe stato ripreso dallo stesso Mandelbrot e considerato il primo lavoro di geometria dei frattali; esso avrebbe permesso di definire un’altra classe di frattali celebri, noti come “insiemi di Julia”.

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Caratteristiche di un frattale

Il nome “frattale”, introdotto da Mandelbrot nel 1975, fa riferimento a una delle caratteristiche fondamentali di questi enti geometrici, la loro dimensione frazionaria. Questa è una delle loro proprietà meno intuitive; la geometria euclidea, infatti, contempla soltanto dimensioni intere: 0 per il punto, 1 per la retta, 2 per il piano, 3 per lo spazio. I frattali, invece, possono avere una dimensione qualunque, anche frazionaria, che può variare tra tutti i numeri reali positivi.

Il valore della dimensione di un frattale (detta anche “dimensione di Hausdorff”) quantifica il livello di irregolarità della figura. Ad esempio, la dimensione della curva a “fiocco di neve” è 1,2619, quella del triangolo di Sierpinski, 1,5850, quella del celebre insieme di Mandelbrot, 2.

Un sistema per calcolare la dimensione di una curva frattale consiste nello sfruttare la proprietà dell’autosimilarità. Detta D la dimensione, e il livello di ingrandimento, N il numero di parti identiche che si distinguono al livello di ingrandimento e, la dimensione si definisce come:

D = log N / log e.

Altra caratteristica distintiva delle figure frattali è la già citata autosimilarità. Dato un frattale e preso un suo dettaglio, quest’ultimo può essere ingrandito all’infinito, e sempre rivelerà dettagli ulteriori, tutti di forma simile a quella della figura nel suo complesso.

Infine, altra caratteristica comune a tutti i frattali è il tipo di procedura con cui vengono costruiti: qualunque frattale si ottiene attraverso un processo iterativo, ossia che si ripete. La procedura è descritta da un algoritmo, cioè una relazione matematica che definisce una serie infinita di istruzioni. A seconda che tale relazione sia lineare (di primo grado) o di grado superiore, essa definisce un frattale cosiddetto “lineare” o “non lineare”, rispettivamente.