Calcolo infinitesimale

Calcolo infinitesimale Ramo della matematica che ha per oggetto lo studio delle proprietà delle funzioni di una o più variabili. Il calcolo infinitesimale si basa sul concetto di limite di funzione e di infinitesimo, inteso come valore estremamente piccolo assunto dalla funzione nei punti prossimi a uno in cui essa si annulla.

Per convenzione, si usa suddividere il calcolo infinitesimale in calcolo differenziale, che approfondisce il comportamento delle funzioni nell’operazione di derivazione, e in calcolo integrale, che studia le proprietà delle funzioni nell’operazione di integrazione. Chiamato anche analisi infinitesimale, o semplicemente analisi, il calcolo infinitesimale è essenziale per la formalizzazione matematica dei fenomeni naturali e viene utilizzato come strumento di lavoro in tutte le discipline di scienze fisiche.

Le radici del calcolo infinitesimale sono da ricercare nella geometria dell'antica Grecia. Democrito calcolò il volume della piramide e del cono, probabilmente considerandoli costituiti da un numero infinito di sezioni di spessore infinitamente sottile. Eudosso e Archimede usarono il 'metodo di esaustione' per determinare l'area del cerchio, approssimandola a quella di poligoni in esso inscritti, dal numero di lati via via maggiore. I problemi che sorsero nella comprensione dei numeri irrazionali e il celebre paradosso di Zenone, tuttavia, impedirono uno sviluppo sistematico della teoria.

All'inizio del XVII secolo Bonaventura Cavalieri ed Evangelista Torricelli svilupparono e ampliarono l'uso degli infinitesimi, mentre Cartesio e Pierre de Fermat studiarono le aree sottese da curve assegnate e le tangenti ad esse, effettuando procedimenti equivalenti a quelli di integrazione e differenziazione solo mediante gli strumenti dell'algebra. Fermat e Isaac Barrow misero in luce l'esistenza di una stretta relazione tra le due operazioni – integrazione e differenziazione – finché Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz intrapresero la dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo, da cui si deduce che le operazioni di differenziazione e di integrazione sono una l'inverso dell'altra.

Newton giunse alla formulazione del calcolo infinitesimale nell'ambito degli studi sulla teoria della gravitazione, probabilmente prima di Leibniz. A differenza di questi, tuttavia, non pubblicò immediatamente i suoi risultati, e sulla paternità della teoria si scatenarono aspre dispute. La contesa si trascinò per anni ed ebbe fine soltanto nel 1714 con la morte di Leibniz e la sostanziale “vittoria” di Newton. La notazione di Leibniz conobbe in ogni caso un’ampia fortuna, soprattutto nell’Europa continentale, ed è tuttora largamente utilizzata.

Il XVIII secolo vide l'applicazione del calcolo infinitesimale in tutto il mondo, ma l'uso approssimativo delle quantità infinite e infinitesime pose in discussione i fondamenti della teoria e innescò un acceso dibattito, cui presero parte numerosi esponenti di spicco delle comunità filosofica e scientifica. Nel XIX secolo, grazie all'analisi, le vaghe nozioni di infiniti e infinitesimi allora esistenti vennero sostituite con definizioni precise, formulate in termini di quantità finite. Bernhard Bolzano e Augustin-Louis Cauchy definirono con precisione i limiti e le derivate; lo stesso Cauchy, insieme a Georg Riemann, formalizzò il calcolo integrale, mentre Julius Dedekind e Karl Theodor Weierstrass fecero altrettanto per i numeri reali. Fu dimostrato che le funzioni differenziabili sono continue, e le funzioni continue sono integrabili, ma che per nessuna delle due affermazioni vale il teorema inverso.

Nel XX secolo l'analisi ha finalmente legittimato l'uso degli infinitesimi, mentre lo sviluppo dei computer e delle capacità di calcolo numerico ha ampliato gli orizzonti di applicabilità del calcolo infinitesimale.