Geometria analitica

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Introduzione

Geometria analitica Ramo della geometria in cui si affrontano problemi geometrici mediante metodi analitici, e viceversa. Il metodo si basa sulla rappresentazione delle figure geometriche in opportuni sistemi di coordinate; questi permettono di associare a ogni punto geometrico del piano o dello spazio un insieme di numeri reali detti appunto coordinate e quindi, a una figura geometrica, una vera e propria equazione matematica che stabilisce una relazione tra le coordinate dei punti di cui la figura è costituita.

La geometria analitica è nota anche con il nome di geometria cartesiana, in onore di Cartesio, che ne pose le basi nel 1637.

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Rappresentazione cartesiana di punti nel piano

Dato un punto nel piano, è possibile individuarne in modo univoco la posizione rispetto a una coppia di assi ortogonali x, y specificando la distanza del punto da ciascuno di essi. Le due distanze prendono il nome di coordinate cartesiane del punto; in particolare, si chiama ascissa la distanza dall'asse verticale, o asse y, e ordinata la distanza dall'asse orizzontale, o asse x. In figura 1, il punto a dista di 1 unità dall'asse verticale, e di 4 unità dall'asse orizzontale; le coordinate (x, y) del punto a sono allora (1, 4) e la sua posizione è univocamente determinata dalle espressioni algebriche x = 1, y = 4.

Si associano valori positivi delle x ai punti che appartengono alla regione (o al semipiano) che si estende a destra dell'asse y, e valori negativi ai punti che appartengono al semipiano di sinistra; analogamente, ai punti che si trovano al di sopra e al di sotto dell'asse x corrispondono ordinate rispettivamente positive e negative. Inoltre, i punti che appartengono all'asse x hanno ordinata nulla, e quindi hanno coordinate del tipo (x, 0); i punti che appartengono all'asse y hanno ascissa nulla, e hanno quindi coordinate de tipo (0, y). Così, al punto b, in figura 1, sono associate le coordinate (5, 0), ossia x = 5, y = 0.

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Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano

In generale, una retta può essere rappresentata da un'equazione lineare nelle due variabili, x e y, della forma ax + by + c = 0 (forma implicita), o della forma y = mx + q (forma esplicita). Affermare che un’equazione algebrica rappresenta una retta nel piano cartesiano significa affermare che, preso un punto qualunque della retta, le sue coordinate, sostituite al posto di x e y nell’equazione, la soddisfano. La retta passante per i punti a(1, 4) e b(5, 0) è y = -x + 5; se si sostituiscono le coordinate di a nell’equazione, si ottiene: 4 = -1 + 5, cioè 4 = 4. Allo stesso modo, l’equazione è verificata per le coordinate di b e di qualunque altro punto della retta.

Se si analizza la forma esplicita dell’equazione della retta, si individuano due parametri significativi: m, detto coefficiente angolare, e q, detto termine noto. Il coefficiente angolare dà una misura della pendenza della retta rispetto al semiasse positivo delle x; è un numero positivo se l’angolo formato tra la retta e il semiasse positivo delle x è minore di 90°; è negativo se tale angolo è maggiore di 90°. Il termine noto rappresenta invece l’ordinata del punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y. Sempre nel caso della retta di equazione y = -x + 5 di figura 1, il coefficiente angolare -1 indica una pendenza negativa (l’angolo formato con il semiasse positivo delle x è di 135°); il termine noto è + 5, che, come si può verificare a occhio, è appunto l’intercetta della retta sull’asse delle y.

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Rappresentazione cartesiana di curve nel piano

Come per la retta, è possibile dare una rappresentazione algebrica di qualunque curva regolare nel piano, tra cui, ad esempio, le coniche. Per le curve l’equazione non è più lineare (di primo grado), ma di grado superiore al primo. Così, per esempio, l’equazione della parabola ha una forma generale del tipo y = ax² + bx + c, ed è quindi di secondo grado in x. La circonferenza, invece, ha equazione generale della forma x² + y² + ax + by + c = 0.