Geometria

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Introduzione

Geometria Ramo della matematica che studia le proprietà dello spazio. Nella sua forma più elementare, la geometria si occupa di problemi metrici quali la determinazione dell’area, del perimetro, delle dimensioni di figure piane o della superficie totale e del volume dei solidi; ebbe origine nell’antichità e fu formalizzata in principi e teoremi dai greci. In particolare, fu Euclide, intorno al 300 a.C., a organizzare le conoscenze geometriche sviluppate fino ad allora in un corpus di assiomi e teoremi, che tuttora studiamo e conosciamo sotto il nome di “geometria euclidea”.

Per secoli le conoscenze nel campo della geometria rimasero quelle conquistate dai greci; solo molto più tardi, a partire dal XVI secolo, presero forma altri rami della geometria, tra cui la geometria analitica, la geometria proiettiva, la topologia, la geometria a più di tre dimensioni; a partire dall’Ottocento, infine, furono definite le cosiddette geometrie non euclidee, nate attraverso il procedimento logico della negazione di uno dei postulati di Euclide. Nel Novecento si situa infine la creazione della geometria dei frattali.

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La nascita della geometria

L’etimologia del termine “geometria”, che deriva dal greco geo, “Terra”, e métrein, “misurare”, suggerisce in che cosa consistesse questa disciplina presso le prime civiltà in cui fiorì. I geometri erano coloro che si occupavano di problemi pratici quali la misura dell’estensione dei campi da coltivare e la determinazione di angoli retti per gli spigoli degli edifici. Questo tipo di geometria empirica si sviluppò dapprima presso i babilonesi e poi nell’antico Egitto. Gli egizi, in particolare, giunsero alla definizione di importanti proprietà, mossi dall’esigenza di ripetere la misura dei terreni ogni anno, dopo le piene del Nilo che cancellavano i confini; erano in grado di determinare l’area di quadrati, rettangoli e trapezi e perfino l’area del cerchio, che determinavano moltiplicando il diametro per il valore 3,16. Fu solo in Grecia, tuttavia, a partire dal 600 a.C. circa, che la geometria prese la forma di una disciplina astratta, svincolata dalle esigenze pratiche e finalizzata al puro studio delle proprietà delle figure piane e tridimensionali.

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La geometria nella Grecia classica

I primi grandi studiosi della geometria del periodo greco classico furono Talete di Mileto (640-546 a.C.) e Pitagora di Samo (570-497 a.C.). Essi per primi affrontarono lo studio di curve e superfici e delle loro proprietà applicando un rigoroso procedimento logico ipotetico-deduttivo, degno di essere considerato scientifico.

Talete portò numerosi contributi, tra cui la dimostrazione delle seguenti proprietà: gli angoli opposti al vertice definiti dall’intersezione di due rette in un punto sono congruenti; in un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti; due triangoli sono congruenti se hanno congruenti, nell’ordine, due angoli e un lato; un angolo inscritto in una semicirconferenza è retto; il diametro divide il cerchio in due parti uguali. Inoltre, enunciò un celebre teorema tuttora noto con il suo nome (teorema di Talete): dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a coppie di segmenti direttamente proporzionali definiti sulla prima trasversale corrispondono coppie di segmenti direttamente proporzionali sulla seconda.

Nel VI secolo a.C. Pitagora rinforzò la struttura logica della geometria osservando che le numerose leggi geometriche conosciute all’epoca e dedotte con metodi empirici potevano essere riformulate come conseguenze logiche di un numero limitato di assiomi o postulati. Nell’ambito della scuola pitagorica questi postulati erano considerati verità evidenti; secondo l’impostazione matematica moderna, invece, sono ritenute assunzioni convenienti, ma del tutto arbitrarie.

A Pitagora è attribuita la dimostrazione di alcuni celebri teoremi, tra cui quello secondo cui la somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è pari a due angoli retti. Inoltre, il celebre teorema che porta il suo nome (teorema di Pitagora): in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Quest’ultimo enunciato era già noto molti secoli prima ai babilonesi, ma probabilmente Pitagora fu il primo a fornirne una dimostrazione. Nell’ambito degli studi relativi alle proprietà dei triangoli rettangoli, Pitagora compì poi una scoperta fondamentale, quella dei numeri irrazionali; in particolare, la radice di due, che infatti è la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo che abbia i cateti uguali e di lunghezza unitaria. Infine, Pitagora definì il dodecaedro, il quinto poliedro regolare dopo il tetraedro, il cubo, l’ottaedro e l’icosaedro (i poliedri regolari sono i solidi regolari che possono essere inscritti o circoscritti a una sfera).

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Problemi di costruzione

Un importante filone di studio nel campo della geometria in Grecia fu quello dei problemi di costruzione, cioè la ricerca della tecnica per disegnare una data figura geometrica con l’uso esclusivo del righello e del compasso. Furono tre i problemi più celebri, che impegnarono decine di studiosi e a lungo motivarono studi e ricerche nel campo della geometria: la duplicazione del cubo (la ricerca delle misure di un cubo avente il volume doppio di un cubo dato); la trisezione di un angolo (la divisione di un angolo dato in tre angoli uguali); la quadratura del cerchio (la costruzione di un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato).