Equazione indeterminata

Equazione indeterminata In matematica, equazione che ammette più di un insieme di soluzioni, e che pertanto non può essere risolta in modo univoco. Un'equazione indeterminata può avere un numero infinito di soluzioni, e diventa risolubile nel senso ordinario solo se si aggiungono ulteriori restrizioni al problema che essa traduce in forma algebrica; ad esempio, una restrizione piuttosto comune è quella di imporre che la soluzione debba essere costituita da numeri interi.

Un semplice esempio di questo tipo di problema consiste nel chiedersi in che modo si possono cambiare mille lire in monete da 500 e da 100 lire. Algebricamente il problema si traduce nell'equazione 500x + 100y = 1000. Se si ammettono anche le soluzioni frazionarie, questa equazione ha un numero infinito di soluzioni; ma in tal caso il problema perderebbe significato perché, evidentemente, non ha senso considerare un terzo di una moneta da 100 lire. Con questa restrizione, è evidente che esistono tre e tre sole soluzioni: la prima data da x = 2 e y = 0, la seconda da x = 1 e y = 5 e la terza da x = 0 e y = 10. Alcuni di questi problemi non hanno soluzioni; un esempio è il problema che chiede in quanti modi è possibile cambiare 750 lire in monete da 500 e da 100.

Le equazioni indeterminate di cui si ricercano solo soluzioni intere prendono nome di equazioni diofantee; esse sono oggetto di studio di un'apposita algebra, sviluppata da Diofanto nel III secolo d.C., che prende appunto nome di analisi indeterminata o diofantea. La soluzione di un’equazione diofantea è raramente evidente e immediata come l’esempio sopra mostrato: si deve a Diofanto ed Euclide l’invenzione di un metodo rapido per determinare se un’equazione diofantea ammetta o meno soluzioni. Il procedimento si applica a problemi esprimibili algebricamente sotto forma di un'equazione lineare a due incognite. Dapprima è necessario calcolare il massimo comune divisore dei coefficienti di x e y: nell'equazione dell’esempio precedente, i coefficienti sono 500 e 100, e il loro massimo comune divisore è 100; se il massimo comune divisore trovato divide il termine noto senza resto, (proprio come 100 divide 1000), l'equazione ammette una o più soluzioni intere.

Nella realtà delle applicazioni matematiche, la teoria delle equazioni indeterminate presenta notevole complessità: sono numerosi i grandi matematici (si ricorda ad esempio il tedesco Carl Friedrich Gauss) che si impegnarono nella soluzione di equazioni diofantee particolarmente complesse.