Calcolo integrale

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Introduzione

Calcolo integrale Settore del calcolo infinitesimale che studia le proprietà delle funzioni di una o più variabili rispetto all’integrazione, operazione inversa della differenziazione. Scopo dell'integrazione è, data una funzione f, trovare una funzione F la cui derivata sia uguale a f, ovvero tale che f’ = f. La funzione F si dice integrale, o primitiva di f, e si scrive F(x) = ∫f(x)dx o semplicemente F = ∫f dx.

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L’operazione di integrazione

Per la valutazione degli integrali delle funzioni si ricorre abitualmente a tavole di integrazione, che discendono direttamente da quelle di derivazione: infatti, ad esempio, poiché la derivata di x² è 2x, l'integrale di 2x sarà x². Più precisamente, se F è una primitiva di f, l'integrale più generale di f è in realtà F + c, dove c è una costante di integrazione arbitraria. La presenza della costante è motivata dal fatto che, essendo nulla la sua derivata, l’integrale resta determinato a meno di una quantità additiva arbitraria, e si deve dunque scrivere: ∫2xdx = x² + c.

Se gli estremi dell'intervallo di integrazione sono specificati, il risultato dell'operazione è un numero che prende il nome di integrale definito, altrimenti l'integrazione porta a una funzione ∫f(x)dx = F(x) (più correttamente un insieme di funzioni F(x) + c). Il simbolo ∫, rappresenta la somma di un numero infinito di aree f(x)dx di rettangoli di altezza f(x) e base infinitesima dx; più precisamente, rappresenta il limite – che tende a ∞ - di una somma di un numero finito di aree rettangolari, al tendere della loro base a zero.

Le regole fondamentali per l'integrazione delle funzioni composte sono simili a quelle della differenziazione. L'integrazione è un processo lineare, perciò l'integrale della somma o della differenza di due funzioni è la somma o la differenza dei rispettivi integrali, e lo stesso vale per funzioni moltiplicate per una costante. Così l'integrale di x = (1/2)2x è (1/2)x², e, analogamente, ∫x^m dx = x^m+1/(m + 1) per qualunque m ≠ -1. Il valore m = -1 viene escluso per evitare la divisione per zero; la primitiva di x^-1 = 1/x, infatti è, a meno di una costante additiva, il logaritmo naturale del valore assoluto di x, ln|x|.

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Applicazioni

L'operazione di integrazione spesso presenta difficoltà maggiori rispetto alla derivazione, ma molte delle funzioni comuni possono essere agevolmente integrate per mezzo di regole relativamente semplici.

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Il calcolo delle aree

Una classica applicazione dell'integrazione è il calcolo delle aree. Sia A l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione y = f(x) e l'asse delle x nell'intervallo a≤x≤b. Per semplicità, si assuma che f(x) ≥ 0 tra a e b. Per ogni x≥a, sia L(x) l'area della regione di piano sottesa dal grafico della funzione alla sinistra di x, cosicché si abbia A = L(b). Per prima cosa si differenzia L(x). Detta h una piccola variazione di x, la regione al di sotto della curva, nell'intervallo compreso tra x e x + h, può essere approssimata a un rettangolo di altezza f(x) e base h (vedi illustrazione Integrazione); la corrispondente variazione di area k = L(x + h) - L(x) è perciò approssimativamente f(x)h, e k/h è circa f(x). Quando h → 0, k/h → f(x) e L’(x) = f(x). Quindi L è un integrale di f, e tutti gli integrali F di f sono dati da L = F + c , dove c è la costante di integrazione. Inoltre L(a) = 0, quindi c = - F(a), e L(x) = F(x) - F(a) per ogni x ≥a. In particolare, A = L(b) = F(b) - F(a), e si scrive