Trigonometria

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Introduzione

Trigonometria Ramo della matematica che studia le relazioni che sussistono tra i lati e gli angoli di un triangolo; si suddivide in trigonometria piana, che ha per oggetto le proprietà delle figure piane, e trigonometria sferica, che si occupa invece delle proprietà di triangoli su superfici sferiche.

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Cenni storici

Benché alcuni studi sulle relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli siano riportati in antiche opere egiziane e babilonesi, deve essere riconosciuto prevalentemente ai greci il merito di aver fondato la trigonometria. Nel II secolo a.C. l’astronomo Ipparco compilò una tavola trigonometrica, che si rivelò in seguito del tutto simile a una moderna tavola dei seni: data una circonferenza di raggio fisso r, essa forniva infatti la lunghezza della corda sottesa da tutti gli angoli minori di 180° e multipli di un determinato valore. Non si conosce con certezza il valore che Ipparco scelse per il raggio r, ma il criterio utilizzato per determinare la misura delle corde venne successivamente ripreso da Tolomeo ed è esposto nel celebre trattato astronomico Almagesto.

Nella stessa opera, Tolomeo propose una tavola per la misura delle corde sottese da angoli multipli di 1° e compresi tra 0° e 180°, e fornì diversi esempi di consultazione della tabella, mostrando come fosse possibile trovare tutti gli elementi non noti di un triangolo a partire da diverse combinazioni di elementi noti; inoltre enunciò il teorema per la soluzione dei triangoli sferici, oggi noto come teorema di Menelao, ed espose concetti di trigonometria che per molti secoli rappresentarono la base imprescindibile di ogni studio astronomico.

Più o meno nello stesso periodo, gli astronomi indiani svilupparono un sistema trigonometrico diverso, basato non sulla corda, ma su una funzione seno, definita non propriamente come quella attualmente in uso, bensì come la lunghezza del lato opposto all’angolo, in un triangolo rettangolo di ipotenusa fissata.

Verso la fine dell’VIII secolo gli astronomi islamici, avvalendosi dei risultati di greci e indiani, perfezionarono le tavole basate sulla funzione seno, e svilupparono una trigonometria fondata più sull’uso dell’aritmetica e dell’algebra che sulle nozioni di geometria. Negli ultimi anni del X secolo, essi scoprirono diversi teoremi fondamentali della trigonometria piana e sferica e sostituirono il valore r = 1 a quello di derivazione babilonese r = 60, anticipando con questa innovazione le moderne definizioni delle funzioni trigonometriche. Oltre che in campo astronomico, i risultati ottenuti trovarono svariate applicazioni pratiche: famoso, ad esempio, è l’uso della trigonometria per individuare la direzione della Mecca, a cui rivolgere le preghiere giornaliere prescritte dalla religione islamica.

Gli scienziati islamici compilarono tavole particolarmente precise, tra le quali sono degne di nota quelle per il seno e la tangente, costruite per multipli di 1/60 di grado, e accurate fino a una parte su 700 milioni. Questi progressi, benché derivanti da una linea di studio già inaugurata dai greci, portarono alla prima formulazione sistematica della trigonometria: il celebre Trattato sul quadrilatero, opera dell’astronomo Nasir ad-Din at-Tusi, si può infatti considerare il primo trattato di trigonometria piana e sferica concepita come disciplina matematica indipendente.

L’Occidente latino conobbe la trigonometria islamica solo a partire dal XII secolo, grazie alle traduzioni dei manuali astronomici arabi. Non furono tuttavia compiuti passi significativi fino al XIII secolo, quando Georges Joachim, detto Retico, modificò la definizione delle funzioni trigonometriche attribuendo loro il moderno significato di rapporti, anziché quello di lunghezze di segmenti. Il primo lavoro di rilievo sul tema fu scritto, nel XV secolo, dall’astronomo e matematico tedesco Giovanni Regiomontano. Nel XVI secolo François Viète introdusse le coordinate polari in trigonometria sferica, stabilì le formule per la determinazione di sen(nq) e cos(nq) in funzione delle potenze di sen(q) e cos(q) e introdusse le relazioni per la risoluzione dei triangoli piani.

All’inizio del XVII secolo i calcoli trigonometrici vennero notevolmente semplificati grazie all’introduzione dei logaritmi per merito del matematico scozzese John Napier. Egli trovò inoltre alcune leggi mnemoniche da applicare alla soluzione dei triangoli sferici, e alcune proporzioni (dette analogie di Nepero) per la soluzione dei triangoli sferici obliqui.

Circa mezzo secolo dopo la pubblicazione dei risultati di Napier, Isaac Newton introdusse il calcolo infinitesimale differenziale e integrale, che fornì la possibilità di rappresentare le funzioni come serie di potenze della variabile indipendente. Newton stesso determinò l’espansione in serie di potenze delle funzioni trigonometriche sen(x), cos(x) e tg(x), e inaugurò in questo modo lo studio analitico delle funzioni trigonometriche, il cui ruolo nella matematica pura e applicata è tuttora di importanza fondamentale.

Infine, nel corso del XVIII secolo, il matematico svizzero Eulero stabilì una relazione fra le funzioni trigonometriche e i numeri complessi. Questo processo trasformò la trigonometria in una delle innumerevoli applicazioni della teoria dei numeri complessi, e le sue leggi fondamentali poterono dunque venire interpretate come conseguenze di semplici operazioni aritmetiche fra questi numeri.

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Trigonometria piana

Lo scopo della trigonometria piana è quello di stabilire delle relazioni fra i lati e gli angoli di un triangolo generico, al fine di poter risolvere il seguente problema: noti tre elementi del triangolo, tra i quali sia compreso almeno un angolo, determinare la misura dei lati e degli angoli non noti. Prima di illustrare i principali contenuti della trigonometria piana, è tuttavia opportuno definire il concetto di angolo trigonometrico e introdurre le cosiddette funzioni goniometriche fondamentali.

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Angolo trigonometrico

È detto trigonometrico l’angolo generato dalla rotazione di un raggio vettore intorno a un punto fisso. Osserviamo le figure 1A, 1B e 1C: l’angolo è determinato dalla rotazione del raggio OB, inizialmente coincidente con OA, intorno al punto fisso O. Per convenzione, un angolo e la sua ampiezza vengono considerati con il segno positivo se sono generati da una rotazione in senso antiorario, e con il segno negativo se sono generati da una rotazione in senso opposto; di conseguenza, affinché due angoli trigonometrici siano uguali, è necessario che le rotazioni da cui sono stati generati siano concordi nella direzione e abbiano uguale ampiezza.

L’ampiezza di un angolo si misura in relazione alla lunghezza dell’arco che i suoi lati “staccano” sulla circonferenza che ha il centro nel vertice dell’angolo stesso. In figura 2 l’arco è rappresentato con s.

L’unità di misura convenzionalmente adottata per gli angoli è il grado sessagesimale, indicato con il simbolo ° e definito come l’ampiezza dell’angolo che sottende un arco di lunghezza pari a 1/360 della lunghezza della circonferenza. Se l’arco s sotteso dall’angolo è pari alla quarta parte di una circonferenza C, ovvero se risulta s = ‚C, OA risulta perpendicolare a OB, e l’angolo misura 90° (angolo retto); se invece s = yC, i punti A, O e B sono allineati e l’angolo misura 180° (angolo piatto). Quando risulta s = C/2p, ovvero quando l’arco sotteso ha la stessa lunghezza del raggio della circonferenza, l’ampiezza dell’angolo assume un valore particolare, detto radiante. La relazione che permette di esprimere in gradi una misura in radianti, e viceversa, può essere determinata facilmente se si tiene conto che

1 angolo piatto = 2 angoli retti = 180° = p radianti

da cui

1 rad = 180°/p

e analogamente

1° = p/180.

Per convenzione, un angolo trigonometrico generico si indica con la lettera dell’alfabeto greco θ. Se l’ampiezza di θ è espressa in radianti, la lunghezza dell’arco sotteso s è fornita in modo immediato dalla formula s = rθ; se essa è in gradi, bisogna ricorrere alla relazione di trasformazione definita sopra e si ha