Vettore

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Introduzione

Vettore Entità matematica che rappresenta una grandezza dotata di un’intensità, una direzione e un verso. Si tratta di un segmento orientato, la cui lunghezza è proporzionale all’intensità della grandezza associata, la direzione indica la sua retta di applicazione e l’orientazione, il suo verso. La posizione, la velocità, l'accelerazione, le forze sono tutti esempi di grandezze vettoriali molto comuni in fisica.

La differenza tra un vettore e uno scalare, cioè una grandezza definita solo da un valore che ne esprime l'intensità, si può cogliere dall'esempio che segue. Per comunicare la posizione di un oggetto servendosi di uno scalare, bisognerebbe dire solo che esso si trova a una data distanza, ad esempio 6 km; è chiaro che una tale informazione è incompleta e non sufficiente a individuare l'oggetto in questione in modo univoco: esso infatti può trovarsi in uno qualunque degli infiniti punti della circonferenza centrata nella posizione di chi parla, e di raggio 6 km. Ricorrendo a una stima vettoriale, invece, si può specificare che l'oggetto si trova ad esempio a 6 km nord. Ciò equivale a descrivere la posizione sotto forma di un vettore di cui viene assegnata l'intensità (6 km), la direzione (nord-sud) e il verso (nord).

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Rappresentazione e uso dei vettori

Un vettore a viene rappresentato mediante una freccia avente lunghezza proporzionale all'intensità di a, e direzione e verso uguali a quelli a.

L'uso e i metodi di calcolo delle grandezze vettoriali sono illustrati nello schema riportato sotto. Possiamo pensare che il vettore a, o A, rappresenti il moto proprio di una barca in un determinato intervallo di tempo e in assenza di corrente, e che il vettore b, o $, rappresenti il flusso della corrente nel medesimo intervallo di tempo. La traiettoria della barca è determinata dalla composizione dei due moti, quello proprio e quello di deriva, ed è rappresentata dal vettore c, o B

Questo metodo di risoluzione dei problemi consiste in pratica nell'operazione di somma vettoriale, che può essere eseguita con un procedimento grafico molto semplice. Dall'origine O si disegna uno dei due vettori di lunghezza in scala, e di direzione e verso opportuni. Con riferimento all'esempio, se la velocità della barca è di 2,2 km/h, l'intervallo di tempo considerato 1 ora, e la scala di 1 cm a 1 km, il vettore A deve essere lungo 2,2 cm per poter rappresentare la distanza percorsa dalla barca in 1 ora, e cioè 2,2 km. Lo spazio percorso per effetto della corrente, supponiamo 6 km, è rappresentato dal vettore $, lungo 6 cm. Questo secondo vettore deve essere disegnato con l'origine, o punto di applicazione, sulla punta del vettore a, e con la direzione e il verso propri della corrente. Il punto B al termine del secondo vettore rappresenta allora la posizione finale della barca dopo un'ora di viaggio; lo spostamento della barca è rappresentato dalla lunghezza (in questo caso circa 6,4 km) del vettore c, o B.

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Campi di applicazione

I problemi che consistono nella composizione (somma o differenza) di più vettori possono essere agilmente risolti per via grafica, anche con l'ausilio della trigonometria. Problemi simili si incontrano nel campo della navigazione, dello studio dei moti, in meccanica e in molti altri rami della fisica. Nella matematica odierna, per vettore si intende più in generale un insieme ordinato di quantità (dette componenti), che va trattato in base a precise regole. L'analisi vettoriale, cioè l'insieme dell'algebra, della geometria e del calcolo infinitesimo applicati alle grandezze vettoriali, rientra nei principali strumenti matematici applicati in ogni campo della scienza e dell'ingegneria.