Numero complesso

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Introduzione

Numero complesso Espressione matematica della forma a + ib, dove a e b rappresentano due numeri reali e i rappresenta l'unità immaginaria, cioè la radice quadrata della quantità -1. I numeri complessi possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e divisi, e costituiscono una struttura algebrica di campo. L'analisi complessa, che combina le proprietà dei numeri complessi con alcuni concetti del calcolo infinitesimale, può essere applicata a campi disparati, dalla teoria dei numeri all’ingegneria. In fisica vengono utilizzati per descrivere i fenomeni ondulatori; inoltre, l’unità immaginaria i appare esplicitamente nella celebre equazione d'onda di Schrödinger, che descrive l'evoluzione di un qualunque sistema fisico nell'ambito della meccanica quantistica.

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Cenni storici

Storicamente, i numeri complessi furono introdotti per esprimere le soluzioni di equazioni del tipo x² = -1 (un’uguaglianza tra una quantità positiva o nulla e una quantità certamente negativa) che, nell’insieme dei numeri reali, non ammettono soluzioni. Verso la metà del XVI secolo, il matematico italiano Gerolamo Cardano e i suoi contemporanei, cercando una formulazione completa e soddisfacente della teoria dei polinomi (vedi Teoria delle equazioni), si interessarono alle equazioni contenenti la radice quadrata di numeri negativi. Probabilmente Cardano stesso suggerì che si potesse esprimere il numero reale 40 nella forma (5 + √-15)(5-√-15).

Fu nel 1777 che il matematico svizzero Eulero introdusse il simbolo tuttora in uso, i, per indicare √-1; e scrisse l'importante relazione e^pi = -1 che fonde alcuni tra i più importanti concetti della matematica. Un’altra tappa importante nella storia dei numeri complessi è il 1799, anno della tesi di dottorato di Carl Friedrich Gauss, in cui è contenuta la dimostrazione del famoso teorema fondamentale dell'algebra, che afferma che ogni polinomio a coefficienti complessi ammette almeno una radice complessa. Lo studio delle funzioni complesse venne proseguito da Augustin-Louis Cauchy, che nel 1825 propose una generalizzazione dell'integrale definito che includesse anche le variabili complesse.

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Operazioni tra numeri complessi

In un numero complesso a + ib, a è detta parte reale e b parte immaginaria; così nel numero complesso -2 + 3i la parte reale è data da -2, quella immaginaria da 3. La somma tra numeri complessi si esegue sommando separatamente parti reali e parti immaginarie; ad esempio, per calcolare (1 + 4i) + (2 - 2i), bisogna dapprima sommare le parti reali 1 e 2, poi quelle immaginarie 4 e -2 e infine si ottiene il numero complesso 3 + 2i. La regola generale per l'addizione può essere scritta: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

La moltiplicazione tra numeri complessi si basa sulla proprietà fondamentale per cui i · i = -1 e sulla proprietà distributiva della moltiplicazione sull'addizione. Quindi si ha che (a + bi) · (c + di)=(ac - bd) + (ad + bc)i, da cui segue ad esempio che (1 + 4i)(2 - 2i) = 10 + 6i. Se z = a + bi è un numero complesso qualunque, si dice complesso coniugato di z il numero che si ottiene invertendo il segno della parte immaginaria, vale a dire z^* = a - bi, e valore assoluto, o modulo di z, l'espressione |z| = √(a² + b²). Ad esempio, il complesso coniugato di 1+4i è 1 - 4i e il suo modulo è √(1² + 4²) = √17. Dato un numero complesso il valore assoluto può essere calcolato mediante la relazione z · z^* = |z|².

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Diagramma di Argand

Così come l’insieme di tutti i numeri reali può essere visto come l’insieme di tutti i punti di una retta orientata, i numeri complessi si possono pensare come i punti di un piano, rappresentando la parte reale e quella immaginaria sugli assi di un sistema di riferimento ortogonale. Il numero a + bi è così identificato come il punto del piano di coordinata x pari ad a e coordinata y pari a b. I numeri complessi 1 + 4i e 2 - 2i corrispondono ai punti (1,4) e (2,-2) di tale piano. Questa rappresentazione geometrica, che si rivela particolarmente utile sul piano pratico, fu ideata da Jean-Robert Argand intorno al 1806; il piano di rappresentazione prende perciò il nome di diagramma di Argand. Se si rappresenta un numero complesso come un vettore avente il punto di applicazione nell'origine degli assi e l'estremità sul punto corrispondente del diagramma di Argand, la somma di numeri complessi si riduce a una somma vettoriale. L'illustrazione Somma di due numeri complessi mostra il numero 3 + 2i ottenuto come somma dei vettori 1 + 4i e 2 - 2i.

Dal momento che i punti del piano possono essere individuati univocamente anche per mezzo delle due coordinate polari r e θ, ogni numero complesso z si può scrivere nella forma z = r(cosθ + isinθ), dove r è il modulo del numero complesso o, in notazione vettoriale, la distanza del punto dall'origine, e θ è l'argomento di z e rappresenta l'angolo formato da z con l'asse delle x. Se z = r(cosθ + isinθ) e w = s(cosΦ + isenΦ) sono due numeri complessi scritti in forma polare, il loro prodotto è dato da zw = rs(cos(θ + Φ) + isin(θ + Φ)). La semplice interpretazione di questo fatto è mostrata nell'illustrazione Prodotto di due numeri complessi.