Funzione

Funzione In matematica, termine usato per indicare una relazione o una corrispondenza tra due o più insiemi di grandezze, che rispetta determinate proprietà.

Impiegato per la prima volta nel 1637 dal filosofo e matematico francese Cartesio per designare la potenza ennesima della variabile x, cioè xⁿ, il termine “funzione” fu poi utilizzato nel 1694 da Gottfried Wilhelm Leibniz in riferimento ai diversi aspetti di una curva, in particolare alla sua pendenza. Il significato più comune fino a tempi recenti fu tuttavia definito solo nel 1829 dal matematico tedesco Johann Peter Dirichlet. Questi concepì la funzione come un’espressione matematica che descrivesse il modo in cui i valori di una variabile y, detta variabile dipendente, variassero al variare di quelli assunti dalla variabile x, o di più variabili x₁, x₂, ..., x_n, dette quindi variabili indipendenti.

Nell’assunzione di Dirichlet i valori delle variabili, dipendenti e indipendenti, erano numeri complessi o reali. L’affermazione y = f (x), che si legge “y è funzione di x”, indicava il tipo di dipendenza tra le due variabili x e y; f (x) era generalmente data in forma esplicita, ad esempio come f (x) = x² - 3x + 5, oppure sotto forma di regola espressa a parole, come ad esempio: f (x) sia il primo intero maggiore di x per tutti gli x reali. Se a è un numero, allora f (a) indica il valore che la funzione assume in corrispondenza del valore x = a. Così, nel primo esempio, f (3) = 3² - 3 · 3 + 5 = 5, f (-4) = (-4)² - 3 (-4) + 5 = 33; nel secondo esempio, f (3) = f (p) = 4.

Con lo sviluppo della teoria degli insiemi, il concetto di funzione venne modificato fino a pervenire alla definizione attuale. Siano X e Y due insiemi costituiti da elementi qualunque, non necessariamente della stessa natura; ad esempio, X potrebbe essere l’insieme delle regioni dell’Italia e Y quello degli interi positivi. La variabile x rappresenti un elemento dell’insieme X, e la variabile y un elemento dell’insieme Y. Sia P l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate (x, y) e F un sottoinsieme di P con la proprietà che detti (x₁, y₁) e (x₂, y₂) due elementi di F, y₁ ≠ y₂ implichi che x₁ ≠ x₂, cioè a ogni x appartenente a X corrisponda un solo y appartenente a Y. (Se x₁ ≠ x₂, invece, può verificarsi che y₁ = y₂). A questo punto la funzione è definita come l’insieme F delle coppie ordinate, munito della condizione sopra precisata, e si scrive F : X→Y. L’insieme X₁ degli x che risultano come primi elementi delle coppie ordinate di F è detto dominio della funzione F; l’insieme Y₁ degli y che compaiono come secondi elementi delle coppie ordinate è detto codominio della funzione F. Così, {(Lombardia, 7), (Puglia, 4), (Toscana, 4)} è una funzione che associa l’insieme X delle regioni italiane all’insieme Y degli interi positivi; il dominio è l’insieme delle regioni e il codominio è formato da un sottoinsieme dei numeri interi.

Il moderno concetto di funzione è legato alla definizione elaborata da Dirichlet. Dirichlet considerava y = x² - 3x + 5 una funzione; oggi si pensa che y = x² - 3x + 5 sia la legge che determina l’y corrispondente a ogni x di una coppia ordinata della funzione. La regola citata fissa ad esempio le coppie (3, 5), (-4, 33) come due dell’infinito numero di elementi della funzione. Sebbene la notazione y = f (x) sia tuttora usata per indicare una funzione, è più corretto leggere “y è funzionalmente correlata con x”.

In molti rami della matematica si parla di funzioni come di trasformazioni, o mappe. Se il codominio Y₁ è un sottoinsieme proprio di Y (cioè se almeno un y che appartiene a Y non appartiene a Y₁), allora si dice che F è una funzione, o trasformazione, o mappa del dominio X₁ in Y; se Y₁ = Y, F è una funzione, trasformazione, o mappa di X₁ su Y.