Matematica

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Introduzione

Matematica In origine, la scienza dei numeri, delle grandezze e delle figure geometriche, nonché delle relazioni e delle operazioni logiche tra queste quantità. In base a questa definizione, la matematica è divisa in geometria, o scienza delle quantità e delle dimensioni geometriche, in aritmetica, o scienza dei numeri e del contare, e in algebra, generalizzazione astratta di questi due campi.

Verso la metà del XIX secolo la matematica prese a includere i nuovi campi della logica matematica e simbolica, e poté essere definita come la scienza delle relazioni, o la scienza che trae conclusioni necessarie. Furono così introdotti nuovi simboli per dare una forma rigorosa ai processi di induzione e deduzione, oltre a definizioni, assiomi, postulati e regole per elaborare relazioni e teoremi complessi, a partire da concetti elementari e primitivi.

Si può dire che la matematica sia nata con l’umanità: le prime testimonianze di alcune nozioni di geometria e dell’interesse per le forme geometriche sono state infatti individuate nei disegni del vasellame e dei tessuti, e nelle pitture rupestri d’epoca preistorica. I sistemi di conteggio primitivi, sviluppati in seguito a esigenze pratiche, erano quasi certamente basati sull’uso delle dita di una o di entrambe le mani, come suggerito dalla predominanza del numero 5 e del numero 10 come basi degli attuali sistemi di numerazione.

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La matematica antica

Le prime testimonianze di una matematica avanzata e organizzata risalgono al periodo della civiltà babilonese e di quella egizia, intorno al III millennio a.C. Allora l’aritmetica e la geometria erano applicate a problemi di natura prettamente empirica, come la definizione dei confini dei campi dopo le inondazioni del Nilo, e non vi era traccia di concetti matematici astratti e complessi quali quelli di assioma e di dimostrazione.

I primi testi egizi, elaborati intorno al 1800 a.C., rivelano che era in uso un sistema di numerazione decimale, cioè basato su simboli distinti per indicare le potenze di 10 (cioè 1, 10, 100 ecc.), simile al sistema adottato in seguito dai romani. I numeri venivano rappresentati scrivendo il simbolo indicante la potenza di 10 tante volte quante essa era contenuta nel numero in questione; ad esempio, per rappresentare il numero 5 si ripeteva 5 volte il simbolo dell’unità; per rappresentare il numero 60 veniva ripetuto 6 volte il simbolo relativo alle decine, e quello relativo alle centinaia veniva scritto tre volte per indicare il numero 300. Complessivamente, i simboli citati esprimevano il numero 365. L’operazione di addizione veniva eseguita sommando separatamente le unità, le decine, le centinaia e così via. La moltiplicazione invece consisteva in raddoppiamenti successivi, e la divisione nell’inverso di questo procedimento.

Le frazioni erano espresse come somme di frazioni unitarie (Œ), e della frazione ’. Ad esempio, “ era vista come la somma di ‚ e di ~. Usando questo sistema, gli egizi erano in grado di risolvere tutti i problemi aritmetici che coinvolgessero quantità frazionarie, come pure alcuni problemi di algebra. In geometria essi giunsero alle formule corrette per il calcolo dell’area dei triangoli, dei rettangoli, dei trapezi, e del volume di figure solide come i parallelepipedi, i cilindri e, naturalmente, le piramidi. L’area del cerchio veniva calcolata eseguendo il quadrato degli   del diametro, e questa operazione, che corrispondeva ad assumere per pi greco un valore pari a circa 3,16, anziché 3,14, forniva un risultato assai prossimo a quello esatto.

I babilonesi adottarono un sistema di numerazione sessagesimale, cioè in base 60, che differiva notevolmente da quello egizio. Era basato sui segni cuneiformi: in particolare, un singolo cuneo simboleggiava l’unità e un segno a forma di freccia esprimeva il numero 10 (vedi la tabella Simboli numerici antichi); con questi soli simboli, attraverso un procedimento additivo simile a quello impiegato dagli egizi, era possibile scrivere i numeri compresi tra 1 e 59. Il numero 60 tornava a essere rappresentato con lo stesso simbolo usato per l’unità, e per i numeri successivi si ricorreva a una notazione posizionale, in cui il valore di uno dei primi 59 simboli dipendeva dalla posizione che esso occupava all’interno del numero stesso.

Ad esempio, una cifra formata da un simbolo per il 2, seguita da uno per il 27 e da uno per il 10, stava a significare il numero dato da 2×60² + 27×60 + 10. Lo stesso principio era adottato anche per la rappresentazione delle frazioni, cosicché la sequenza di numeri del precedente esempio poteva rappresentare sia 2×60 + 27 + 10×(†), sia 2 + 27×(†) + 10×(†)^-2.

Nel tempo i babilonesi svilupparono un sofisticato sistema matematico mediante il quale potevano determinare le soluzioni positive di qualunque equazione quadratica e le radici di alcune equazioni di terzo grado. Essi disponevano di un gran numero di tavole, comprese quelle per la moltiplicazione e la divisione, quelle dei quadrati e dell’interesse composto. Risolvevano anche complicati problemi applicando il teorema di Pitagora, e una delle loro tavole conteneva addirittura le soluzioni intere dell’equazione a² + b² = c², ordinate in modo che c²/a² decrescesse con continuità dal valore 2 fino a circa —.

Sapevano calcolare la somma di alcune serie aritmetiche e geometriche e delle successioni di quadrati, e inoltre ottennero una buona approssimazione di Ã. In geometria, conoscevano le formule per il calcolo dell’area di rettangoli, triangoli, trapezi, e del volume di figure solide semplici, quali parallelepipedi e cilindri, ma non giunsero mai a un’espressione corretta per il volume della piramide.

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La matematica greca

Gli antichi greci elaborarono la loro matematica attingendo in parte alla matematica egizia, in parte a quella babilonese. Il fondamentale elemento di novità che essi introdussero fu l’allontanamento dall’approccio puramente empirico della matematica da loro ereditata a favore dell’invenzione di una matematica più astratta, fondata su una struttura logica di definizioni, assiomi e dimostrazioni. Secondo testimonianze più tarde, questo sviluppo ebbe inizio nel VI secolo a.C. con Talete di Mileto e Pitagora di Samo. Quest’ultimo fu il fondatore di una scuola di pensiero filosofico-religioso che predicava l’importanza di studiare i numeri, considerati nel contempo il principio e l’essenza di tutte le cose. Alcuni dei discepoli continuarono gli studi iniziati nella celebre scuola di Crotone, in particolare nel campo dell’astronomia e della matematica, ottenendo risultati fondamentali nell’ambito della teoria dei numeri e della geometria, poi attribuiti a Pitagora stesso.

Nel V secolo a.C. tra i più grandi studiosi della geometria vi furono il filosofo atomista Democrito di Abdera, che pervenne alla formula corretta per la determinazione del volume di una piramide, e Ippocrate di Chio, il quale scoprì che l’area delle figure piane delimitate da archi di circonferenza è riconducibile all’area di opportuni triangoli. Questo risultato era in stretta relazione con il celebre problema della quadratura del cerchio, che consiste nel costruire un quadrato di area uguale a quella di un cerchio assegnato.

Due problemi simili sorti nel corso del secolo furono quello della trisezione di un angolo e quello del raddoppiamento di un cubo, cioè della costruzione di un cubo di volume doppio di quello di un cubo dato. Essi furono risolti in diversi modi, ricorrendo a metodi notevolmente complessi, ma per molto tempo la questione se fosse o meno possibile realizzare tali costruzioni esclusivamente con l’ausilio di righello e compasso impegnò i più grandi matematici senza trovare risposta. Solo nel XIX secolo venne rigorosamente provato che non è possibile risolvere alcuno di questi tre problemi solo con gli strumenti citati.

Verso la fine del V secolo a.C. un matematico di identità sconosciuta scoprì l’impossibilità di misurare con la stessa unità di misura il lato e la diagonale di un quadrato; in altri termini egli affermò che non esistevano due numeri interi, m ed n, il cui rapporto fornisse quello tra questi due segmenti. Fu così riconosciuta l’esistenza di grandezze incommensurabili, cioè di grandezze che, pur appartenendo alla stessa specie, non hanno sottomultipli comuni. L’importanza di questo risultato può essere facilmente compresa se si pensa che per i greci i numeri erano solo gli interi positivi (1, 2, 3 e così via), rappresentati come insiemi di punti, e che per questo motivo essi non avevano alcun modo di esprimere numericamente il rapporto tra diagonale e lato, che ora si sa essere Ã, e cioè un numero irrazionale. Come conseguenza furono riformulati i concetti fondamentali della geometria, in particolare le nozioni di punto, retta, piano e spazio, e si pervenne a una nuova concezione, più astratta e razionale, della matematica; si comprese l’importanza dei postulati, a partire dai quali potevano essere dedotti i teoremi necessari per ogni applicazione pratica. La nuova teoria, introdotta intorno al IV secolo a.C., fu attribuita a Eudosso di Cnido, e inclusa negli Elementi di Euclide. Eudosso formulò inoltre un metodo per dimostrare rigorosamente enunciati riguardanti le aree e i volumi, per mezzo di successive approssimazioni.

La prima formulazione ordinata e assiomatica dei contenuti della matematica del tempo si deve certamente a Euclide; i tredici libri che costituiscono i suoi Elementi contengono infatti gran parte delle conoscenze fondamentali del periodo precedente al IV secolo a.C.: la geometria dei poligoni e del cerchio, la teoria dei numeri, quella degli incommensurabili, la geometria solida e la teoria elementare delle aree e dei volumi.

Il secolo seguente fu particolarmente fecondo per lo sviluppo della matematica, grazie agli studi di Archimede di Siracusa e di un suo più giovane contemporaneo, Apollonio di Perge. Archimede determinò l’area e il volume delle figure geometriche ottenibili dalle coniche, sfruttando un metodo basato sulla valutazione teorica del peso di sezioni infinitamente sottili di queste figure. Le coniche, curve che si ottengono per intersezione di un cono circolare retto e indefinito con un piano passante per il vertice e non contenente l’asse, furono studiate per la prima volta da un discepolo di Eudosso chiamato Menecmo, e costituirono l’oggetto di un intero trattato di Euclide.

Gli scritti di Archimede, che peraltro contengono discussioni su importanti problemi di fisica, quali la determinazione del centro di massa dei corpi e delle loro condizioni di galleggiamento in acqua, sono i più antichi che ci siano pervenuti. Si conosce inoltre un trattato sulle coniche del suo contemporaneo Apollonio, nel quale tra l’altro esse sono denominate con i nomi tuttora in uso di ellisse, parabola e iperbole, che rimase l’unico testo fino al XVII secolo, quando il filosofo e scienziato francese Cartesio tornò a occuparsi dell’argomento.

Dopo Euclide, Archimede e Apollonio, la Grecia non conobbe altri studiosi di geometria di simile valore. Gli scritti di Erone di Alessandria, del I secolo d.C., mostrano come le due tradizioni aritmetiche babilonese ed egizia, impostate sulle esigenze pratiche dell’agrimensura e della misurazione in generale, siano in effetti sopravvissute alla costruzione degli edifici logici dei grandi geometri greci. Anche i libri di Diofanto di Alessandria, del III secolo d.C., pur trattando problemi più complessi, si inquadrano nella medesima tradizione. Egli si occupò di trovare le soluzioni razionali di problemi che portano a equazioni in più incognite. Tali equazioni vengono ora chiamate equazioni diofantee e sono oggetto dell’analisi diofantea.

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La matematica applicata

In Grecia, parallelamente agli studi di matematica pura, furono condotte importanti ricerche anche nel campo dell’ottica, della meccanica e dell’astronomia. Molti dei più grandi matematici di cui ci restano gli scritti, come Euclide e Archimede, si dedicarono anche a osservazioni e a studi astronomici. Poco dopo Apollonio, gli astronomi greci adottarono il sistema babilonese per la rappresentazione delle frazioni e, pressoché nello stesso periodo, compilarono le tavole delle corde di circonferenza che segnarono la nascita della trigonometria, e che sono equivalenti alle moderne tavole dei seni. Data una circonferenza di raggio fissato, esse fornivano la lunghezza di tutte le corde sottese da archi di lunghezza crescente a intervalli fissi. Nelle tavole di Ipparco di Nicea, che risalgono al 150 ca. a.C. e che probabilmente furono le prime compilate, gli archi considerati crescevano a intervalli di 7,5°, da 0° a 180°.

Al tempo dell’astronomo Tolomeo, nel II secolo d.C., si era giunti a un punto tale di raffinatezza dei procedimenti matematici che, nell’opera Almagesto, egli poté includere una tavola delle corde per gli archi presi a intervalli di 0,5°, accurata fino alla quinta cifra decimale.

Nel frattempo furono sviluppati vari metodi per la soluzione di problemi riguardanti i triangoli piani, e fu dimostrato un teorema, poi intitolato all’astronomo Menelao di Alessandria, per la determinazione della lunghezza di alcuni archi sulla superficie di una sfera. Questi progressi fornirono agli astronomi greci gli strumenti necessari per risolvere i problemi di geometria sferica applicata all’astronomia, e per sviluppare un sistema astronomico che durò fino all’opera del tedesco Giovanni Keplero.