Matematica

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La matematica nel Medioevo e nel Rinascimento

Dopo Tolomeo, in molti centri della cultura greca fu avviata una tradizione di studi sui risultati della matematica dei secoli precedenti, a cui probabilmente si deve il fatto che essi si siano conservati fino ai giorni nostri. Gli studi continuarono anche nel mondo islamico dove, dopo il periodo d’oro della matematica greca, apparvero i primi apporti originali.

4.1

Il mondo islamico

Dopo un secolo di espansione, durante il quale la religione islamica si diffuse dalla Penisola arabica a tutta l’area compresa tra la Spagna e i confini della Cina, i musulmani iniziarono ad acquisire i risultati delle “scienze straniere”. In centri quali la Casa della Saggezza di Baghdad, sovvenzionata dai califfi al potere o da altri facoltosi benefattori, furono stilate le versioni arabe degli scritti matematici greci e indiani.

Intorno al 900 l’acquisizione era completa e gli studiosi islamici poterono iniziare a costruire i loro edifici matematici sulle fondamenta greche e indiane. Così il sistema aritmetico decimale indiano, basato sul valore posizionale delle cifre, fu esteso fino a includere le frazioni decimali, e nel XII secolo il matematico persiano Omar Khayyam generalizzò i metodi di estrazione delle radici quadrate e cubiche alle radici di indice superiore. In algebra, Al-Karaji perfezionò l’algebra dei polinomi di Muhammad Al-Khwarizmi, introducendo anche lo studio dei polinomi costituiti da infiniti termini; tra l’altro, proprio dal nome di Al-Khwarizmi deriva il termine algoritmo, e dal titolo di uno dei suoi libri è tratto il termine algebra.

Alcuni geometri, tra cui Ibrahim Ibn Sinan, continuarono le ricerche di Archimede sulle aree e sui volumi e Kamal Al-Din e altri applicarono la teoria delle coniche per risolvere problemi di ottica. Dalla funzione seno definita dagli indiani (vedi Trigonometria) e dal teorema di Menelao, i matematici, da Habas Al-Hasib a Nasir Ad-Din at-Tusi, crearono le discipline matematiche della trigonometria sferica e della trigonometria piana. In Occidente la trigonometria assunse la dignità di disciplina matematica solo dopo la pubblicazione del De Triangulis Omnimodibus (sui triangoli di tutti i generi) dell’astronomo tedesco Regiomontano.

Infine, alcuni matematici islamici ottennero risultati di rilievo nel campo della teoria dei numeri, mentre altri illustrarono diversi metodi numerici di risoluzione delle equazioni. L’Occidente latino acquisì gran parte di queste conoscenze nel corso del XII secolo, il secolo delle grandi traduzioni, e ciò permise il rapido sviluppo della matematica che segnò il corso del tardo Medioevo. Il lavoro di matematici italiani quali Leonardo Fibonacci e Luca Pacioli, uno dei numerosi autori dell’algebra e dell’aritmetica destinate ai mercanti del XV secolo, si fondò in modo sostanziale su basi arabe.

4.2

Il Rinascimento occidentale

Nel periodo tardo-medievale alcuni autori, ad esempio Nicola di Oresme, fecero interessanti considerazioni sul problema dell’infinito in matematica; tuttavia, la prima scoperta veramente importante dell’Occidente risale solo all’inizio del XVI secolo. Tale scoperta, una formula algebrica per la soluzione delle equazioni di terzo e quarto grado, fu pubblicata nel 1545 dal matematico italiano Gerolamo Cardano nella sua Ars Magna. Quest’opera attirò l’attenzione dei matematici sui numeri complessi e stimolò la ricerca delle soluzioni per le equazioni di grado superiore al quarto. Fu grazie a questo tipo di studi che si pervenne alla teoria dei gruppi, sul finire del XVIII secolo, e alla teoria delle equazioni del matematico francese Evariste Galois, all’inizio del XIX secolo.

Il XVI secolo vide anche la nascita dei moderni simboli matematici e algebrici, come pure l’importante lavoro sulle soluzioni delle equazioni del matematico francese François Viète, i cui scritti influenzarono illustri matematici del secolo successivo, tra cui Pierre de Fermat in Francia e Isaac Newton in Gran Bretagna.

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La matematica moderna

5.1

Il XVII secolo

Dopo il Rinascimento fu l’Europa a determinare lo sviluppo della matematica. I primi progressi rilevanti, a partire dai tempi di Archimede e Apollonio, furono compiuti durante il XVII secolo, che si aprì con la scoperta dei logaritmi da parte del matematico scozzese John Napier, altrimenti noto come Nepero. L’utilità del risultato fu riconosciuta quasi due secoli più tardi dall’astronomo francese Pierre-Simon de Laplace che affermò come, “dimezzando il lavoro degli astronomi, il matematico scozzese ne avesse raddoppiato la vita”.

Lo sviluppo della teoria dei numeri, trascurata dal Medioevo in avanti, illustra come i progressi del XVII secolo poggiassero sulle basi delle conoscenze dell’antichità. Fu proprio l’Aritmetica di Diofanto che stimolò Fermat a dare un grosso impulso alla teoria dei numeri; infatti, il più importante contributo del matematico francese è un’affermazione scritta a margine della sua copia dell’Aritmetica, secondo cui non esisterebbe alcuna soluzione dell’equazione aⁿ+ bⁿ = cⁿ con a, b e c interi positivi, per valori di n maggiori di 2. La dimostrazione di questa proposizione, nota come “ultimo teorema di Fermat”, ha impegnato numerosi matematici per oltre tre secoli; è stata infine formulata in modo rigoroso solo alla fine del XX secolo dal britannico Andrew Wiles.

Nell’ambito della geometria pura si ebbero, nel corso del Seicento, due importanti scoperte. La prima venne dalla pubblicazione del Discorso sul metodo (1637) di Cartesio, che conteneva i primi importanti studi sulla geometria analitica e che, insieme ai brevi trattati che l’accompagnavano, fornì le basi per gli studi matematici iniziati intorno al 1660 da Isaac Newton. Quest’opera infatti apriva la strada a un nuovo ramo della matematica, che consentiva sia di applicare l’algebra sviluppata fin dal Rinascimento alla geometria delle curve, sia di dare una descrizione geometrica di problemi la cui natura era fino ad allora esclusivamente algebrica.

La seconda importante conquista della geometria avvenne nel 1639, quando l’ingegnere francese Gérard Desargues (1591-1661) pubblicò gli studi che lo avevano condotto alla scoperta della geometria proiettiva. Sebbene questo lavoro fosse stato molto apprezzato da Cartesio e dal filosofo e scienziato Blaise Pascal, l’eccentricità della terminologia adottata e il fatto che fosse stato pubblicato solo dopo i lavori di Cartesio sulla geometria analitica ritardò la presa di coscienza della sua importanza, e ne rimandò l’ulteriore sviluppo fino all’inizio del XIX secolo, quando se ne occupò il matematico francese Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Un passo estremamente importante fu poi la nascita della teoria delle probabilità, inaugurata in un carteggio tra Pascal e Fermat a proposito di un problema di gioco d’azzardo, chiamato il problema dei punti. Questo lavoro inedito stimolò lo scienziato olandese Christiaan Huygens a pubblicare un breve trattato sulle probabilità nel gioco dei dadi, che fu in seguito riproposto dal matematico svizzero Jakob Bernoulli nel suo Ars conjectandi. Bernoulli, e anche il francese Abraham de Moivre (1667-1754) nell’opera Dottrina delle possibilità del 1718, applicarono il calcolo infinitesimale, di recente scoperta, per compiere importanti progressi nell’ambito della teoria delle probabilità, che subito trovò numerose applicazioni.

L’evento matematico più importante del secolo XVII fu comunque, senza dubbio, la nascita, tra il 1664 e il 1666, del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale, per merito di Isaac Newton. Per la scoperta egli si avvalse dei precedenti studi dei suoi connazionali John Wallis e Isaac Barrow, e del lavoro di alcuni matematici europei come Cartesio, Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde (1628-1704) e Gilles Personne de Roberval. A otto anni dagli studi di Newton, che non erano ancora stati pubblicati, anche il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz giunse autonomamente alla teoria del calcolo infinitesimale, che pubblicò nel 1684 e nel 1686, dando inizio a una lunga disputa sulla paternità della scoperta. Alcune notazioni introdotte da Leibniz, ad esempio dx, sono tuttora usate nel calcolo infinitesimale moderno.

5.2

Il XVIII secolo

Nel corso degli ultimi anni del XVII secolo e all’inizio del XVIII i nuovi concetti introdotti da Newton e da Leibniz furono applicati dai loro discepoli a una grande varietà di problemi nel campo della fisica, dell’astronomia e dell’ingegneria. In questa fase si delinearono anche nuove aree della matematica. Ad esempio, gli svizzeri Johann e Jakob Bernoulli posero le basi per il calcolo delle variazioni e il matematico francese Gaspard Monge introdusse la geometria differenziale.

Sempre in Francia, l’italiano Giuseppe Luigi Lagrange elaborò un trattato di meccanica puramente analitico, intitolato Mécanique analytique e pubblicato nel 1788, in cui furono scritte le famose equazioni di Lagrange per un sistema dinamico. Egli contribuì anche allo sviluppo delle equazioni differenziali, della teoria dei numeri, e inaugurò gli studi sulla teoria dei gruppi. Il suo contemporaneo Pierre-Simon de Laplace scrisse La teoria analitica delle probabilità (1812); inoltre l’opera Meccanica celeste classica (1799-1825) gli valse il titolo di “Newton francese”.

Il più grande matematico del XVIII secolo fu probabilmente lo svizzero Eulero, che portò contributi fondamentali a molti settori della matematica pura e applicata. Scrisse manuali di calcolo infinitesimale, di meccanica e di algebra, che divennero modelli di riferimento per queste discipline. Il successo di Eulero e di altri matematici nell’uso del calcolo infinitesimale per la soluzione di problemi di matematica mise comunque in evidenza la mancanza di un esauriente fondamento teorico della nuova materia. Mentre per Newton il calcolo infinitesimale era scaturito dalla cinematica, per Leibniz tutto si fondava sul concetto astratto e poco chiaro di infinitesimo, e per Lagrange la definizione rimaneva a livello algebrico, fondata sul concetto di serie a termini infiniti. Tutti questi sistemi si rivelarono insoddisfacenti rispetto agli standard logici della geometria greca, e il problema non trovò soluzione fino al secolo successivo.