Matematica

5.3

Il XIX secolo

Nel 1821 il matematico francese Augustin-Louis Cauchy propose un approccio al calcolo infinitesimale, formulato in funzione di sole quantità finite e del concetto di limite, che soddisfece tutte le esigenze di rigore precedentemente emerse, ma che pose il problema della definizione logica di numero reale. Sebbene la spiegazione del calcolo infinitesimale fornita da Cauchy poggiasse su quest’idea, fu il tedesco Julius Dedekind a trovare una definizione esauriente del concetto di numero reale, espressa in termini di numeri razionali. Tale definizione, comunque, fu in seguito affiancata da altre proposizioni introdotte dai matematici tedeschi Georg Cantor e Karl T.W. Weierstrass.

Nell’ambito degli studi sul moto della corda vibrante si sviluppò l’esigenza di una definizione rigorosa di funzione. Eulero, Lagrange e Jean-Baptiste Fourier contribuirono a risolvere la questione, ma fu il matematico tedesco Johann Peter Dirichlet a proporre la definizione tuttora riconosciuta, secondo cui una funzione è una relazione matematica mediante la quale si stabilisce una corrispondenza tra gli elementi del dominio (l’insieme di definizione) e quelli del codominio (l’insieme dei valori) della funzione.

Oltre a rafforzarne le fondamenta, i matematici del XIX secolo compirono importanti progressi nel campo dell’analisi, cioè delle tecniche del calcolo differenziale. All’inizio del secolo il tedesco Carl Friedrich Gauss si occupò della definizione dei numeri complessi, che in seguito avrebbero costituito un nuovo campo dell’analisi, al quale avrebbero lavorato il già citato Cauchy, Karl Theodor Weierstrass e Georg B. Riemann.

Un’altra importante conquista dell’analisi fu lo studio di Fourier delle serie infinite a termini trigonometrici. Note ora come serie di Fourier, esse rappresentano ancora potenti strumenti della matematica pura e applicata. Inoltre, la ricerca di funzioni che ammettessero la rappresentazione in serie di Fourier portò Cantor allo studio degli insiemi infiniti e di un’aritmetica dei numeri infiniti. La teoria di Cantor, che in principio fu ritenuta eccessivamente astratta e addirittura definita una “malattia da cui la matematica sarebbe presto guarita”, costituisce ora parte delle fondamenta della matematica, ed è stata recentemente applicata alla fluidodinamica per lo studio dei fenomeni di turbolenza.

Un’altra importante scoperta del XIX secolo, pure accolta con accuse di scarsa concretezza e inutilità, fu quella delle geometrie non euclidee, nate dalla negazione del quinto postulato di Euclide, secondo cui per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela a quella data. Il primo matematico a interessarsi dello sviluppo delle geometrie non euclidee fu il tedesco Carl Friedrich Gauss, che però temette le controversie che la pubblicazione dei suoi studi avrebbero potuto suscitare. Agli stessi risultati pervennero indipendentemente il matematico russo Nikolaj Ivanovič Lobačevskij e l’ungherese János Bolyai. Le geometrie non euclidee furono studiate in generale da Georg Riemann, e la sua invenzione delle varietà e degli spazi topologici localmente euclidei trovò importanti applicazioni nel campo della fisica, in modo particolare nella teoria della relatività, sviluppata da Albert Einstein nel XX secolo.

Gauss rimane uno dei più grandi matematici di tutti i tempi: i suoi diari testimoniano i risultati che già in giovane età egli aveva ottenuto nel campo della teoria dei numeri; il suo libro Disquisitiones Arithmeticae (Disquisizioni aritmetiche, 1801) segna l’inizio dell’era moderna di questo campo. All’età di diciotto anni scoprì che è possibile costruire un poligono di m lati impiegando un righello e un compasso, se m è un’espressione della forma 2ⁿ + 1, dove n è una potenza di due. Nella sua tesi di dottorato fornì la prima dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra. Durante la sua feconda attività combinò spesso le ricerche matematiche con quelle scientifiche; ad esempio affiancò lo sviluppo dei metodi statistici alle ricerche di un pianetoide appena scoperto. I suoi lavori sulla teoria del potenziale trovarono applicazione nello studio del magnetismo e il suo studio della geometria delle superfici curve si rivelò fondamentale per le ricerche topografiche.

Di grande importanza fu la trasformazione dell’algebra, nel XIX secolo, da studio dei polinomi a studio della struttura dei sistemi algebrici. Un rilevante passo avanti in questa direzione fu lo sviluppo dell’algebra simbolica che ebbe luogo in Inghilterra, per merito di George Peacock. Fondamentale fu anche la scoperta dei sistemi algebrici che hanno molte delle proprietà, ma non tutte, dei numeri reali. Tali sistemi includono i quaternioni, o numeri ipercomplessi, del matematico irlandese William Rowan Hamilton, l’analisi vettoriale del matematico e fisico americano J. Willard Gibbs, nonché gli spazi ordinati n-dimensionali del matematico tedesco Hermann Günther Grassmann (1809-1877). Un ulteriore progresso fu poi lo sviluppo della teoria dei gruppi, che era stata già introdotta da Lagrange; Galois applicò questo lavoro per ottenere una teoria completa sulla risolubilità dei polinomi mediante formule algebriche.

Come Cartesio aveva applicato l’algebra del suo tempo alla geometria, il matematico tedesco Felix Klein (1849-1925) applicò l’algebra alla classificazione delle geometrie in termini dei loro gruppi di trasformazioni (il cosiddetto Erlanger Programm), e il matematico norvegese Marius Sophus Lie (1842-1899) applicò a una teoria geometrica alcuni tipi di equazioni differenziali per mezzo dei gruppi continui di trasformazioni, noti come gruppi di Lie. Nel XX secolo l’algebra permise una forma generalizzata della geometria, nota come topologia.

Al XIX secolo risalgono anche gli importanti contributi di George Boole, con le sue Laws of Thought (Leggi del pensiero, 1854) e di Georg Cantor con la teoria degli insiemi.

Agli inizi del secolo, in particolare per opera del britannico Bertrand Russell, fu osservato che la teoria di Cantor, e il concetto stesso di insieme, portavano ad alcune contraddizioni. Le ricerche dei matematici si volsero quindi alla formulazione di una teoria degli insiemi basata su condizioni sufficientemente restrittive, così da evitare ulteriori paradossi, ma lasciarono aperta la questione sulla sua coerenza e completezza. Fino a oggi sono state date solo dimostrazioni di fondatezza relativa, che garantiscono ad esempio che la teoria A è fondata solo se lo è la teoria B. Il risultato più rilevante, e in un certo senso più scomodo, fu dimostrato nel 1931 dal logico statunitense Kurt Gödel, il quale pervenne alla conclusione che, in qualunque sistema di assiomi sufficientemente sofisticato da risultare interessante, è possibile costruire proposizioni la cui verità non può essere stabilita nell’ambito del sistema stesso.

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La matematica contemporanea

Alla II Conferenza internazionale dei matematici, tenuta a Parigi nel 1900, prese parte il matematico tedesco David Hilbert: era professore all’Università di Gottinga, la prima “patria” accademica di Gauss e di Riemann, e autore di celebri opere, dai classici Grundlagen der Geometrie (Fondamenti della geometria, 1899) ai Grundlagen der Mathematik (Fondamenti della matematica, 1934). Nella sua relazione Hilbert propose una rassegna dei 23 problemi matematici che egli credeva avrebbero guidato il lavoro dei matematici durante il secolo che si inaugurava. Tali problemi hanno veramente stimolato gran parte della ricerca matematica del Novecento, e sono tuttora di grande attualità.

Un fatto di importanza fondamentale nello sviluppo delle scienze matematiche è stato certamente l’invenzione del computer digitale programmabile. Sebbene le sue radici vadano ricercate nei calcolatori a ingranaggi di Pascal e di Leibniz del XVII secolo, fu Charles Babbage, nel XIX secolo, il primo a progettare una macchina che avrebbe eseguito autonomamente dei calcoli in base a un programma di istruzioni immagazzinate su apposite schede o nastri. L’immaginazione di Babbage trascendeva il livello tecnologico dei suoi tempi e si dovette aspettare l’invenzione del relè, dei tubi a vuoto e del transistor, perché si potessero realizzare macchine calcolatrici programmabili su larga scala. Questo sviluppo ha impresso un notevole impulso ad aree della matematica come l’analisi numerica e la matematica finita e ha suggerito nuovi campi di ricerca, come quello dello studio degli algoritmi.

Il computer ha assunto un’importanza fondamentale in tutti i rami della matematica, incluse la teoria dei numeri, delle equazioni differenziali e l’algebra astratta. Inoltre, le capacità di elaborazione dei computer hanno in molti casi permesso di dare una soluzione a complessi problemi matematici altrimenti insolubili. Esempi significativi a questo proposito sono il teorema di Fermat, definitivamente dimostrato nel 1998 dal matematico statunitense Andrew Wiles proprio grazie all’aiuto del computer, e il celebre teorema topologico dei quattro colori, secondo il quale sono sufficienti quattro tinte per colorare qualunque carta geografica, posto che due paesi confinanti debbano essere rappresentati con colori diversi. Quest’ultimo teorema, proposto per la prima volta verso la metà del XIX secolo, fu dimostrato definitivamente nel 1976 per mezzo di un potente computer dell’Università dell’Illinois.

La matematica del mondo moderno sta avanzando assai più velocemente che in passato. Teorie un tempo indipendenti sono state incorporate in teorie più ampie e più astratte. Sebbene siano stati risolti molti importanti problemi, ne rimangono altri tuttora irrisolti e continuamente ne sorgono di nuovi.