Dimostrazione matematica

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Introduzione

Dimostrazione matematica Argomentazione utilizzata per provare la verità di un’asserzione matematica. Partendo da una o più affermazioni vere, dette ipotesi, la dimostrazione procede attraverso una successione di deduzioni logiche, ottenute sulla base di assiomi o di enunciati precedentemente dimostrati, fino a pervenire alla conclusione, detta tesi. Il primo a introdurre la nozione di dimostrazione in logica fu Aristotele, che la concepì come strumento capace di produrre conoscenza. In matematica, le principali strategie dimostrative adottate nei problemi geometrici e algebrici sono state messe a punto da Euclide negli Elementi, intorno al 300 a.C.

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Tipi di dimostrazione matematica

Dato un enunciato del tipo “se p, allora q”, dove p rappresenta l’ipotesi e q la tesi, esistono diversi tipi di procedimenti dimostrativi che permettono di provare la verità di q; alcuni dei più noti sono la dimostrazione per assurdo, quella per ricorrenza e quella per contrapposizione.

2.1

Dimostrazione per assurdo

Questo tipo di procedimento consiste nel provare la verità della tesi mostrando che la sua negazione porta necessariamente a una contraddizione. In altre parole, assumendo come vere l’ipotesi “p” e la negazione della tesi “non q”, si perviene a un risultato assurdo. Questo basta per affermare che è vera la tesi: non potendo essere vera “non q”, è vera “q”.

La dimostrazione per assurdo può essere applicata, ad esempio, per provare che la successione (u_n) costituita da tutti i numeri primi – 1, 2, 3, 5, 7, 11, ... ecc. – non è una progressione aritmetica. Si parte supponendo per assurdo che lo sia, e che quindi per essa valga la relazione u_n+1 = u_n + r, dove r rappresenta la ragione della successione. Applicando la relazione ai primi due elementi della successione, 1 e 2, si ottiene il valore della ragione r: r = u₂ - u₁ = 2 - 1 = 1; ma allora, risulta che u₄ = u₃ + r = 3 + 1 = 4, che non è un numero primo. Si è giunti così a una contraddizione, che basta ad affermare la falsità dell’ipotesi di partenza (cioè la negazione della tesi) e la verità dell’enunciato.

2.2

Dimostrazione per ricorrenza

Si adotta per dimostrare la verità di enunciati che dipendano in qualche modo da un indice naturale n, vale a dire, per provare che una proposizione che dipende da n è vera per tutti i valori di n. Il procedimento consiste nel verificare che la proposizione è vera per n = 0 e che, se è vera per n, è vera anche per n+1.

Si consideri ad esempio la progressione aritmetica (u_n) che abbia come primo termine u₀ e come ragione r. La relazione ricorsiva che definisce la successione è u_n+1 = u_n + r per tutti gli n. Si vuole dimostrare per ricorrenza che la relazione u_n = u₀ + nr è vera per tutti gli interi n. In primo luogo si verifica che è vera per n = 0: u₀ = u₀ + 0·r. Si procede quindi con il supporre che la relazione u_n = u₀ + nr valga per un intero qualunque n, e la si sfrutta per dimostrare il caso n+1. Come segue dalla definizione, u_n+1 = u_n + r, e quindi si può scrivere u_n+1 = u_n + r = u₀ + nr + r = u₀ + (n + 1)r. Dunque la relazione è vera anche per n + 1. Il risultato, in questo modo, risulta dimostrato per qualunque numero intero positivo n.