Triangolo di Tartaglia

Triangolo di Tartaglia Disposizione di numeri in forma triangolare, ottenuta espandendo le potenze successive di x + y, cioè (x + y)¹, (x + y)², e così via, e disponendo in righe successive i coefficienti numerici.

Il cosiddetto triangolo di Tartaglia è costituito da infinite righe e da due soli lati. Le righe sono numerate (n = 1, 2, ...) dall'alto verso il basso; sull'n-esima riga si trovano i coefficienti dell'espansione di (x + y)ⁿ, detti coefficienti binomiali

(si legge 'n su k'). Qui n! ('n fattoriale') indica il prodotto n × (n -1) × (n -2) × ... × 2 × 1 per n ≥ 1. Ad esempio, il coefficiente di x²y² in (x + y)⁴ è

Ogni elemento del triangolo di Tartaglia, a parte la serie degli 1 lungo i lati, è la somma dei due elementi della riga precedente alla sua destra e alla sua sinistra. In base a questa proprietà è possibile costruire ogni riga del triangolo.

Il triangolo presenta diverse altre proprietà e relazioni numeriche. In particolare, la somma degli elementi della riga di ordine n è 2ⁿ. Ad esempio, la somma degli elementi della riga di ordine 4 è 2⁴ = 16. Inoltre, sostituendo ogni elemento pari del triangolo con uno 0 e ogni elemento dispari con un 1, si ottiene la seguente figura periodica:

Le successive otto righe constano di due copie giustapposte di questo triangolo, con un triangolo di 0 tra di esse, e così via.

La teoria dei coefficienti binomiali, e di conseguenza lo sviluppo del binomio, venne studiata anche dal matematico e teologo francese Blaise Pascal nell'ambito della teoria delle probabilità e dei giochi d'azzardo; ad esempio, se si lancia una moneta per n volte, il numero di modi in cui si può ottenere testa per k volte è

e la probabilità che si verifichi questo evento dipende naturalmente da tale numero.

Probabilmente Tartaglia e Pascal non furono i primi a introdurre il triangolo dei coefficienti dello sviluppo delle potenze del binomio. Infatti, esso apparve nel 1527 sulla copertina del Rechnung, un testo di aritmetica del matematico e astronomo tedesco Peter Apian (1495-1552), e il matematico cinese Chu Shih-Chieh vi si riferì nel 1303, nel suo libro Lo Specchio Prezioso, chiamandolo 'il vecchio metodo'. Il triangolo risale probabilmente al 1100 circa, quando il poeta e matematico persiano Omar Khayyam lo citò nella sua opera Algebra.