Funzioni trigonometriche

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Introduzione

Funzioni trigonometriche In matematica, espressione con cui si indicano le sei funzioni fondamentali della trigonometria, cioè seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante.

Le funzioni trigonometriche sono definite su una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine di un sistema di assi cartesiani (circonferenza trigonometrica):

la variabile indipendente x delle funzioni trigonometriche è l’angolo al centro compreso tra un raggio della circonferenza, detto raggio vettore, e il semiasse positivo delle ascisse. Sono considerati positivi tutti gli angoli ottenuti dalla rotazione in senso antiorario del raggio vettore, a partire dalla posizione di angolo nullo, corrispondente a quella in cui il raggio vettore coincide con il semiasse positivo delle ascisse; sono invece considerati negativi quelli ottenuti per rotazione in senso orario. L’angolo si misura generalmente in radianti, o in gradi.

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Seno

Il seno di un angolo x fissato (abbreviato sen x o sin x) è l’ordinata dell’estremo libero del raggio vettore che definisce l’angolo x. Al variare dell’angolo su tutti i possibili valori, si definisce la funzione y = sen x, che è continua, limitata e periodica. “Continua” significa che il grafico che la rappresenta non ha interruzioni, cioè che lo si può disegnare senza mai staccare la penna. “Limitata” vuol dire che c’è un limite ai valori che la funzione può assumere: per come è definita, infatti, y può assumere solo valori compresi tra -1 e 1 (essendo 1 il raggio della circonferenza trigonometrica); sul grafico, il fatto che la funzione sia limitata si vede da come la curva oscilla entro la banda orizzontale compresa tra y = -1 e y = 1.

Infine, “periodica” vuol dire che i valori che la funzione seno assume si ripetono periodicamente, in particolare a intervalli multipli della quantità 2p (360°) in quanto il seno di un angolo x è uguale al seno di qualunque angolo che differisca da quello dato di un multiplo intero di 2p. In formule: sen x = sen (x + 2k p), dove k è un qualunque numero intero, positivo o negativo. Sul grafico, la periodicità è evidente dal fatto che la curva è la ripetizione modulare del tratto compreso tra 0 e 2p. La curva che rappresenta graficamente la funzione seno è detta sinusoide.

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Coseno

Il coseno di un angolo x (abbreviato cos x) è l’ascissa dell’estremo libero del raggio vettore che definisce l’angolo. Al variare di x su tutti i possibili valori, si definisce la funzione y = cos x, che presenta le stesse caratteristiche di continuità, limitatezza e periodicità della funzione seno. Il grafico della funzione coseno è una sinusoide traslata di -p/2 radianti (-90°) rispetto all’asse delle y.

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Tangente

La tangente di un angolo x (abbreviato tg x o tan x) è definita come l’ordinata del punto di intersezione tra il prolungamento del raggio vettore che individua l’angolo, e la retta tangente alla circonferenza trigonometrica nel punto di coordinate (1, 0). Tale punto di intersezione non esiste per l’angolo p/2 radianti (90°) e per ogni suo multiplo dispari, essendo il raggio vettore che definisce questi angoli parallelo alla retta tangente alla circonferenza nel punto (1;0). Per questo motivo la funzione y = tg x non è definita per tutti gli x = (2k + 1) p/2 (x = 90°, 270°, 450°, ... ), che rappresentano quindi i punti di discontinuità del grafico.

Tra due punti di discontinuità consecutivi la funzione è illimitata (può assumere cioè tutti i valori compresi tra - ∞ e + ∞) e monotona crescente (il valore di y aumenta costantemente all’aumentare di x). Il periodo è di p radianti, cioè, in simboli, tg x = tg (x + kp). Una delle relazioni trigonometriche fondamentali stabilisce che tg x = sen x / cos x, per tutti i valori di x che non rendono nullo il denominatore di questo rapporto, cioè per x diverso da (2k + 1) p /2, che sono poi i valori in cui la tangente non è definita.