Calcolo delle variazioni

Calcolo delle variazioni Branca della matematica che con tecniche e metodologia proprie si occupa di determinare massimi e minimi di funzionali definiti su opportuni spazi. Dal punto di vista analitico, il problema generale del calcolo delle variazioni consiste nel determinare la funzione y(x) che rende massimo o minimo il valore di un integrale (vedi Calcolo infinitesimale) della forma

Un primo studio dell'argomento, sebbene lontano dal formalismo che caratterizza il moderno calcolo delle variazioni, si rintraccia nell'opera di Newton, il quale determinò la forma che deve avere una superficie di rotazione che si muove in un fluido – con moto rettilineo e uniforme – nella direzione del suo asse, affinché sia minima la resistenza offerta al moto dal fluido. Newton risolse il problema in base a considerazioni geometriche, ma in termini moderni esso si riconduce alla ricerca di una funzione y(x) che generi per rotazione intorno all'asse delle ascisse la superficie considerata e al tempo stesso renda minimo l'integrale che rappresenta la resistenza al moto. Un altro celebre problema consiste nel determinare la traiettoria che deve percorrere una particella sottoposta alla sola forza di gravità per spostarsi nel minor tempo possibile tra due punti fissati. Questo problema, detto della brachistocrona, fu risolto brillantemente dai fratelli Johann e Jacob Bernoulli, che individuarono nell'arco di cicloide passante per i due punti assegnati la traiettoria cercata.

Si possono citare vari problemi di calcolo delle variazioni: molti matematici, ad esempio, si impegnarono nella determinazione delle geodetiche, o nei cosiddetti problemi degli isoperimetri (consistenti nel determinare, tra tutte le curve di uguale perimetro, quella che racchiude l'area massima). Tra i più importanti problemi variazionali, soprattutto per le implicazioni che rivestono nell'ambito della fisica, vi sono sicuramente quelli connessi al principio di minima azione che, introdotto da Maupertuis e perfezionato da Lagrange, è oggi uno dei più importanti principi della fisica.

In generale, si può dimostrare che ogni problema di calcolo delle variazioni si riconduce alla ricerca di una funzione che soddisfi un'equazione differenziale ordinaria. Con questo risultato, ottenuto da Eulero nel corso del suo primo tentativo di fornire un approccio sistematico ai problemi della disciplina, il calcolo delle variazioni si trasformò da semplice metodo di calcolo in un vero e proprio ramo della matematica.