Numero decimale

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Introduzione

Numero decimale Rappresentazione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali nel sistema di numerazione decimale.

Nel sistema decimale tutti gli interi sono rappresentabili utilizzando le dieci cifre che indicano i primi dieci numeri naturali, incluso lo zero. Il valore di ciascuna di queste cifre dipende dalla posizione che essa occupa all’interno del numero, e cresce di potenza di 10 in potenza di 10, procedendo da destra verso sinistra.

Il valore della posizione occupata dalla cifra in un numero vale anche per le parti dell’unità. Queste vengono indicate introducendo una virgola accanto alla cifra dell’unità (un punto nella notazione anglosassone) e aggiungendo nuove cifre alla sua destra. Si rappresentano in questo modo, procedendo dalla virgola verso destra, i decimi (s), i centesimi (t) e i millesimi di unità, ossia le potenze decrescenti di 10, che si scrivono anche come 10^-1, 10^-2, 10^-3 e via di seguito. Un numero scritto come 5428,632 si dice frazione decimale; la sua parte decimale 0,632 rappresenta:

Il numero completo si legge 'cinquemila-quattrocento-ventotto virgola seicento-trentadue'. Una frazione, effettuata l’operazione di divisione indicata, viene dunque rappresentata da un numero decimale.

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Operazioni con i numeri decimali

2.1

Addizione e sottrazione

L'addizione e la sottrazione di numeri decimali si eseguono applicando il criterio già descritto per gli interi: i numeri devono essere disposti in modo che i decimi siano incolonnati con i decimi, i centesimi con i centesimi e così via. Ad esempio, per sommare 365,289 e 32,4, innanzitutto si dispongono i numeri allineando le virgole, e poi si comincia a sommare da destra verso sinistra:

Aggiungere alcuni zeri alla destra di un numero decimale non ne altera il valore, ma talvolta può essere conveniente per aiutare ad allineare correttamente le posizioni delle cifre decimali:

La sottrazione tra numeri decimali procede analogamente all'addizione: si aggiungono alcuni zeri alla fine del numero per avere lo stesso numero di cifre decimali alla destra della virgola, e poi si procede a sottrarre applicando le regole per la sottrazione fra numeri interi.

2.2

Moltiplicazione

La moltiplicazione tra numeri decimali è simile a quella tra numeri interi, ma è necessario porre particolare attenzione alla presenza delle virgole. Ad esempio, per effettuare la moltiplicazione fra 0,3 e 0,5 si possono seguire due vie: una è di convertire i due numeri in frazioni

ottenendo il risultato 15/100, che equivale a 0,15; l'altra è di eseguire il prodotto fra i due numeri come se non contenessero la virgola, e aggiungerla poi al risultato, staccando un numero di decimali pari alla somma delle cifre decimali dei due fattori. Ad esempio, poiché sia 0,5 che 0,3 hanno una cifra decimale, il loro prodotto (ottenuto come 3 × 5 = 15) avrà due cifre decimali, e sarà perciò pari a 0,15.

Un altro esempio chiarirà meglio il concetto. Si consideri la moltiplicazione di 0,2 per 0,3; il prodotto tra le due cifre decimali è 6, ma dal momento che 0,3 e 0,2 hanno ciascuno una cifra decimale, il loro prodotto deve contare due cifre decimali: la virgola deve pertanto essere collocata due posti a sinistra del prodotto ottenuto, dando come risultato 0,06.

Il metodo enunciato vale qualunque sia il numero di cifre decimali; ad esempio in 0,259 × 0,12 si eseguirà prima la moltiplicazione

e poi, considerando che il moltiplicando ha tre cifre decimali e il moltiplicatore ne ha due, si staccheranno cinque cifre decimali partendo dalla destra dell'ultima cifra del risultato, procedendo verso sinistra, per ottenere 0,03108.

Un ultimo esempio illustrerà l'importanza del contare correttamente il numero di cifre decimali in un prodotto fra numeri decimali. Si consideri la moltiplicazione di 0,001 e di 0,002; il prodotto tra le cifre è immediato e vale 2, tuttavia, poiché vi sono tre cifre decimali nel moltiplicatore e tre nel moltiplicando, il risultato della moltiplicazione è quindi 0,000002.

2.3

Divisione

Come la moltiplicazione, la divisione tra numeri decimali segue lo stesso procedimento usato per la divisione tra numeri interi, ma anche in questo caso è necessario porre attenzione al numero di cifre decimali da includere nel quoziente. La divisione di un numero decimale per un numero intero si esegue normalmente e senza difficoltà, dividendo prima tutta la parte intera per il divisore, ponendo la virgola al quoziente, e procedendo quindi alla divisione della parte decimale:

Nel caso in cui il divisore sia un numero decimale, si deve 'eliminare' la virgola dal divisore, moltiplicandolo per 10 tante volte fino a che si ottiene una cifra intera. Ad esempio, nella operazione 14:0,7 il divisore può essere ricondotto a un numero intero mediante la moltiplicazione per 10: 0,7 × 10 = 7. Affinché il risultato della divisione rimanga inalterato, però, è necessario moltiplicare anche il dividendo per la stessa quantità. Il procedimento descritto può essere compreso rifacendosi alla regola secondo la quale, moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero, il valore della frazione non cambia. Infatti, 14:0,7 si può scrivere anche 14/0,7; si può perciò procedere calcolando:

Analogamente, la divisione di 2,675 per 0,23 può essere riscritta nella forma 2,675 / 0,23, che può essere convertita in un'altra frazione il cui divisore (denominatore) sia un numero intero, moltiplicando numeratore e denominatore per 100:

In definitiva, la divisione tra due numeri decimali va convertita in una divisione equivalente, spostando la virgola – sia nel dividendo che nel divisore – di tanti posti quanti sono necessari affinché il divisore divenga un numero intero. Quindi si esegue l'operazione di divisione normalmente.

Ad esempio, nella divisione 215:0,002 la virgola del divisore deve essere spostata verso destra di tre posti, fino a ottenere l'intero 2: ciò equivale a moltiplicare il divisore (e il dividendo) per 1000. Anche la virgola del dividendo allora si sposterà di tre posti, ottenendo l'espressione 215.000:2, equivalente a quella di partenza. Quindi si procede alla divisione, che fornisce il risultato di 107.500.