Geometria non euclidea

Per secoli la nostra conoscenza del mondo e di noi stessi dentro il mondo ha custodito le proprie certezze dentro l’edificio della geometria euclidea, una 'fortezza inespugnabile' fondata su verità autoevidenti che avrebbero trovato un inesauribile campo di applicazione nello studio della natura. Alla fine del XIX secolo la scoperta delle geometrie non euclidee fece vacillare l’intera struttura, che dovette rinunciare a ogni pretesa di assolutezza: potevano esistere altre geometrie di pari dignità epistemica. Tuttavia, il paradigma euclideo restava una descrizione vera del mondo reale, quello in cui viviamo e ci muoviamo, mentre ogni altro possibile sistema geometrico, se pur vero sul piano della logica, rimaneva confinato in un 'mondo di carta'. In breve tempo, con l’avvento della teoria della relatività, anche quest’ultima certezza sarebbe svanita, lasciando il posto a un'immagine dell'universo complessa e sfuggente, dominata dall'idea dello spazio-tempo.

Perché non si pensi che gli eccessi dei numerologi pitagorici del passato ci appaiono tali soltanto per il fatto che stiamo guardando un punto troppo vicino all'alba della storia da un luogo in cui il sole di mezzogiorno è troppo alto sull'orizzonte, è istruttivo prendere in considerazione un esempio più recente che esercita un'influenza su gran parte del nostro moderno sistema di valori. Una delle pietre angolari del pensiero umano dal tempo degli antichi Greci fino al diciannovesimo secolo era stata la certezza offerta dall'esposizione della geometria di Euclide. Si trattava di una formulazione rigorosa ed esatta, in cui teoremi certi relativi a rette e triangoli, cerchi e quadrati, venivano dedotti con logica ineccepibile da premesse chiaramente enunciate, che erano chiamate 'assiomi'. In effetti, l'intero edificio costituiva un modello per la costruzione e l'applicazione della logica a insiemi di ipotesi. Come tale, fu insegnato nelle scuole europee in un modo che rimase immutato per più di un secolo. Così, la terminologia delle opere di Euclide fornì a generazioni di scolari uno strano e divertente linguaggio stilizzato, a suo modo altrettanto caratteristico quanto quello della versione ufficiale della Bibbia che essi ascoltavano nelle adunanze mattutine. Dell'effetto ha dato una memorabile caricatura Stephen Leacock nella Geometria della pensione, scritta nel 1910.

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Definizioni e assiomi

Postulati e proposizioni

Ma all'inizio del diciannovesimo secolo la geometria euclidea era ben più di un gioco da giocare sui quaderni degli scolari con matita, riga e compasso: era una descrizione del mondo reale. Euclide aveva ricavato la propria intuizione delle verità geometriche tracciando le figure nella sabbia e analizzando le relazioni tra le lunghezze, gli angoli e le forme. Le 'verità' autoevidenti di ciò che aveva visto sul terreno piano davanti a sé erano state da lui idealizzate in postulati destinati a sostenere i suoi ragionamenti su ciò che in futuro gli sarebbe stato possibile disegnare sulla sabbia. Retrospettivamente, ciò che caratterizza in modo inconfondibile l'edificio geometrico di Euclide è il postulato secondo il quale le rette parallele non si incontrano mai. Questa verità sembra autoevidente: tutti i tentativi, compiuti nel corso dei secoli, di dedurla dalle altre ipotesi fondamentali adottate da Euclide erano falliti. L'antica geometria di Euclide esercitava sottili influssi in altre aree del pensiero umano: era il fondamento di tutta l'architettura e la composizione artistica, di tutta la navigazione e l'astronomia; in àmbito scientifico, era alla base dell'intera opera di Newton sul moto e la gravitazione. I Principia di Newton, che furono pubblicati trecento anni fa, agli occhi di un osservatore distratto hanno l'aria di un imponente trattato di geometria, perché Newton era un maestro nell'applicazione della geometria alla descrizione della natura. Tale maestria era il carattere distintivo del matematico del diciassettesimo secolo; la geometria equivaleva all'assoluta certezza logica: essa rappresentava il mondo com'era. E il determinismo del mondo-meccanismo a orologeria di Newton traeva la propria certezza dalla garanzia geometrica. Tale certezza, durante il diciassettesimo e il diciottesimo secolo, era stata estesa a molti altri campi: c'erano modelli newtoniani del governo e del comportamento umano che facevano appello alla certezza della matematica. C'erano argomenti in favore dell'esistenza di Dio fondati sulla certezza matematica delle leggi di natura geometriche che Newton aveva svelato. La geometria offriva allo studioso un sistema di pensiero che era assolutamente rigoroso partendo da premesse che erano descrizioni di come il mondo si presentava. Essa aveva resistito a tutti i dissennati tentativi di confutarla; testimoniava la possibilità di raggiungere la verità ultima e identificava l'Onnipotente come il grande Geometra e Architetto della natura. La geometria si ergeva come una roccia di certezza in mezzo ai mari agitati della speculazione umana.

Ci si può fare un'idea della sua posizione privilegiata analizzando il ruolo attribuitole, nel diciottesimo secolo, da Kant nel suo sistema filosofico; tale sistema di pensiero poneva al proprio centro il carattere necessario della geometria euclidea. Kant la citava come esempio di conoscenza sintetica a priori, cioè di qualche cosa che è necessariamente vera; per Kant, tale necessità derivava dalla natura delle modalità di pensiero dell'uomo: il modo in cui il cervello umano era costruito garantiva che le verità matematiche della geometria dovessero risultare valide. In Gran Bretagna, ove l'influenza critica di Kant fu modesta durante il diciottesimo e il diciannovesimo secolo, la geometria euclidea era considerata esempio di un modo di pensare specificamente 'britannico'. Qui l'opinione comune era che lo spazio avesse una struttura indipendente dalle nostre menti e che nel chiarire i princìpi della geometria euclidea si fosse portata alla luce l'essenza di tale realtà con assoluta certezza. In altri campi dell'esperienza umana non si era ancora riusciti a sondare altrettanto a fondo la mente di Dio, e la nostra conoscenza aveva un grado di parzialità tanto maggiore quanto meno essa faceva riferimento alle verità della geometria.

La scoperta che la geometria euclidea non era una verità unica, necessaria e assoluta riguardo al mondo fu perciò sbalorditiva, ed ebbe effetti di vasta portata e irreversibili. Essa minò alla base le concezioni assolutistiche della conoscenza umana in ampie regioni del pensiero. I matematici vi si opposero a lungo; ma coloro che cercavano di sovvertire le tradizionali certezze euclidee videro in essa un segnale dell'avvento del relativismo. Il termine 'non euclideo' venne a indicare qualche cosa di più generale di quanto valeva per le linee nello spazio. Lobačevskij, Gauss e Bolyai, in una serie di contributi le cui correlate interrelazioni sono tuttora controverse, giunsero a comprendere che la geometria euclidea era soltanto una tra diverse possibilità. Su qualunque superficie curva, per esempio sulla superficie di una sfera, è possibile stabilire postulati e regole di ragionamento analoghi a quelli di Euclide: il risultato è un sistema logicamente ineccepibile che differisce da quello di Euclide. Se si continuano a considerare linee rette i percorsi più brevi che congiungono due punti di una superficie, sulla superficie di una sfera si può tracciare un triangolo, ma i tre angoli interni di esso non avranno somma pari a 180°. Il famoso quinto postulato di Euclide, secondo il quale rette parallele non si incontrano mai, non è valido su una superficie curva di questo tipo e non rientra tra i postulati adottati, Oggi appare strano che ci sia voluto tanto tempo perché questa idea si presentasse: si sapeva che la Terra non era piatta; c'erano innumerevoli superfici curve sotto gli occhi; artisti e navigatori erano avvezzi da tempo a tracciare i percorsi più brevi tra punti di tali superfici. Ancor più convincente sarebbe dovuto essere il fatto che, se si osserva il mondo attraverso una lente deformante o in uno specchio, ci si trova di fronte una geometria anomala che non è quella di Euclide. Ma il carattere unico e determinato della distorsione dell'immagine della geometria euclidea indica che devono esistere leggi a governare la geometria distorta, e queste leggi non sono altro che distorsioni delle leggi di Euclide. Alla fine Bernhard Riemann mostrò la via per sistematizzare lo studio di tutte le possibili geometrie di una classe molto ampia (che comprende quella di Euclide come caso più semplice) analizzando i modi in cui si modifica il famoso teorema di Pitagora concernente le relazioni tra le lunghezze dei lati dei triangoli rettangoli.

La diffusione di queste nuove idee incontrò molta resistenza, tra i matematici non meno che altrove. Per lungo tempo la scoperta di geometrie non euclidee fu considerata una sorta di curiosità logica, probabilmente frutto – in qualche modo – di un errore. Anche se le superfici curve ovviamente esistevano, quasi tutti ritenevano che lo spazio fisico in cui ci muoviamo e conduciamo la nostra esistenza fosse in realtà euclideo: esso era lo sfondo fisso sul quale si svolgevano gli eventi dell'universo. A quell'epoca i matematici non concepivano i sistemi assiomatici (quali le regole e i postulati che definiscono, in particolare, la geometria euclidea) come entità che si possono creare a piacimento con l'unico vincolo della coerenza interna: i sistemi assiomatici, di cui l'aritmetica e la geometria erano gli unici esempi familiari, erano aspetti del mondo di essere delle cose nella realtà fisica, e non semplici creazioni cartacee. Verso la fine del secolo scorso, la scoperta che la geometria euclidea non era attributo necessario del mondo, imposto da Dio, indusse a mettere in discussione ogni genere, e la crescente tendenza al relativismo culturale ricevette l'impulso grazie alla casuale risonanza con altre idee rivoluzionarie, come la teoria dell'evoluzione per selezione naturale di Charles Darwin e l'ipotesi nebulare di Laplace, secondo la quale il sistema solare aveva avuto origine da una vorticosa nube primordiale di gas. In tutti questi campi, il reale era risultato essere soltanto una tra molte possibilità. La rivoluzione che si verificò nel pensiero matematico non seguì lo schema di molte cosiddette 'rivoluzioni scientifiche', secondo il quale la geometria non euclidea avrebbe dovuto prendere il posto della geometria euclidea come la descrizione del mondo. All'inizio la geometria euclidea rimase incontestata, come descrizione dello spazio in cui viviamo; ciò che mutò fu il suo ruolo di esempio di verità assoluta. Altre geometrie potevano esistere, e possedevano uno status logico non meno fermo di quello della geometria euclidea. Quest'ultima ora si distingueva soltanto per la pretesa di essere la geometria impiegata nella natura; cui tale ruolo dovesse spettare proprio ad essa e a nessun'altra. Le conseguenze per la matematica furono di grande rilievo: l'idea degli assiomi fu per la prima volta emancipata dalla realtà fisica e alla matematica fu data la possibilità di ramificarsi in innumerevoli 'mondi di carta' logici di sua costruzione. Era nata la distinzione tra matematica pura e applicata: la matematica poteva essere concepita come strumento per descrivere il funzionamento delle cose, come catalogo aperto di interconnessioni logiche. Con il tempo (come vedremo nei prossimi capitoli) ciò avrebbe portato a idee radicalmente nuove circa la natura della matematica stessa. Più tardi, nel 1915, questa vicenda ebbe un epilogo spettacolare, quando Einstein fondò la sua nuova teoria della gravitazione sulla premessa che lo spazio fisico possedesse una geometria non euclidea creata dalla presenza della massa e dell'energia nell'universo.

Le geometrie non euclidee, così, non esistevano più soltanto come sistemi logici su fogli di carta, distinte da quella euclidea dal semplice fatto che Dio avesse scelto quest'ultima per l'architettura dell'universo. Le osservazioni confermarono le previsioni della teoria non euclidea dello spazio di Einstein: dopo tutto, il mondo reale non era euclideo. Le deviazioni dalla euclidea erano molto piccole (poco più di una parte su centomila sulle dimensioni del sistema solare), ma la loro presenza fu inequivocabilmente confermata dalle osservazioni, esattamente come Einstein aveva predetto. L'abbandono dell'antica ipotesi di Euclide ebbe un parallelo nella elaborazione di nuove algebre che rinunciavano a un altro assunto profondamente radicato, secondo il quale, quando l'operazione A era seguita dall'operazione B, il risultato doveva essere identico a quello prodotto compiendo prima B e poi A. L'addizione e la moltiplicazione di numeri possiedono questa familiare proprietà 'commutativa': 1 + 2 è uguale 2 + 1. Ma nel 1843, il fisico e matematico irlandese William Hamilton, costruì un'algebra logicamente completa e coerente, per entità (che chiamò quaternioni) definite da un insieme di regole che non erano commutative. In realtà, le operazioni non commutative non sono particolarmente rare: infilarsi le scarpe, o le calze, sono esempi di operazioni in cui un diverso ordine di esecuzione produce risultati assai differenti. La costruzione di Hamilton segnò l'inizio di un periodo in cui i matematici presero a creare liberamente sistemi di simboli servendosi di regole prestabilite e compatibili che ne governassero le combinazioni reciproche senza curarsi che tali sistemi descrivessero alcunché nel mondo reale.

Nella prima parte del diciannovesimo secolo era assai diffusa una fiducia incondizionata nella democrazia liberale come la migliore forma di governo umano: la sua instaurazione era considerata il culmine della storia dell'umanità, e di questo spirito probabilmente, nel testo della Dichiarazione di Indipendenza degli Stati Uniti d'America. Via via che il secolo si approssimava alla fine, era possibile individuare una tendenza universale verso un nuovo tipo di relativismo, in profonda sintonia con il crollo della certezza euclidea. Non era più convinzione universale che vi fossero un sistema etico ottimale, un codice di leggi ottimale o norme di comportamento ottimali. L'esempio della geometria non euclidea mostrava che in qualunque campo dell'attività umana potevano esistere assiomi in grado di portare a un insieme di valori in contrasto con l'autorità riconosciuta; esempi se ne presentavano numerosi nei campi del pensiero politico, dell'etica, del diritto e della sociologia. Il termine 'non euclideo' entrò nell'uso in àmbiti diversi da quello matematico, per indicare idee inconsuete, non tradizionali o radicali, poiché ormai il criterio della coerenza logica era necessario ma non sufficiente a imporre l'adesione a un modo accettato di fare le cose. Si trovano, così, articoli intitolati Indagini di economia non euclidea e studi che paragonavano l'etica cristiana tradizionale alla geometria euclidea e le sue alternative radicali al paradigma non euclideo. Gli antropologi riconsiderarono il proprio atteggiamento nei confronti dello sviluppo delle civiltà diverse da quella occidentale; e se in passato ne avevano giudicato il valore a seconda di quanto si avvicinavano all''ideale' assoluto rappresentato dall'evoluzione della cultura occidentale, ora comprendevano con maggiore chiarezza quanto fosse dubbia qualunque gerarchia di valori così fatta. Nel Nuovo Mondo, alcuni commentatori antigovernativi definirono il sistema politico e giuridico americano una 'teoria euclidea', poiché esso faceva appello alle verità 'autoevidenti' su cui era fondato.

Prima dell'avvento della geometria non euclidea, la nostra conoscenza del mondo aveva un carattere unitario e certo. Dopo, non fu più sufficiente sapere che Dio è un geometra. L'unica verità incontrovertibile riguardo alla natura del mondo fisico era stata messa in questione; insieme con essa vacillavano secoli di fiducia nell'esistenza e nella conoscibilità di verità inattaccabili relative all'universo. Così cadono i potenti.

John D. Barrow, La luna nel pozzo cosmico, Biblioteca Scientifica Adelphi Edizioni, 1994.

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