3.

Esempi

Come esempio di algebra di Boole, si consideri un insieme generico X e sia P(X) la collezione di tutti i possibili sottoinsiemi di X, detto insieme delle parti, o insieme potenza dell'insieme X. P(X), con le due operazioni insiemistiche di unione (È) e intersezione (Ç), forma un'algebra di Boole. Infatti, ogni algebra di Boole può essere rappresentata come un'algebra di insiemi.

Gli elementi dell'insieme B di un'algebra di Boole possono essere astratti o concreti; ad esempio possono essere numeri, proposizioni, insiemi o reti elettriche. Originariamente, nello studio di Boole gli elementi dell'algebra booleana erano proposizioni, o semplici dichiarazioni, aventi la caratteristica di poter essere o vere o false, con la completa esclusione di casi ambigui. Le operazioni erano essenzialmente la congiunzione e la disgiunzione, indicate rispettivamente con i simboli ^ e Ú. Se x e y rappresentano due proposizioni, allora l'espressione x Ú y (leggi 'x o y') è vera se e solo se è vera una delle due proposizioni x o y, oppure se lo sono entrambe. L'affermazione x ^ y (leggi 'x e y') è vera se e solo se sono vere entrambe le proposizioni x e y . In questo tipo di algebra di Boole, il complemento di ogni elemento è semplicemente la negazione della proposizione. .

Un'algebra di Boole di proposizioni e una di insiemi sono strettamente connesse. Ad esempio, sia p l'affermazione 'la palla è blu' e P l'insieme di tutti gli elementi per i quali è vera l'affermazione p, cioè l'insieme di tutte le palle blu. P è chiamato insieme delle verità per la proposizione p. Quindi, se P e Q sono gli insiemi delle verità per le proposizioni p e q, allora l'insieme delle verità per l'espressione p Ú q è chiaramente P È Q, e per p ^ q è P Ç Q.