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Introduzione

Teoria delle equazioni Ramo della matematica che ha per oggetto lo studio delle soluzioni di un’equazione polinomiale e i metodi per determinarle.

Si dice equazione polinomiale di grado n un’identità del tipo 

a0 + a1x1 + a2x2 + ... anxn = 0

 in cui i coefficienti a₀, a₁,..., a_n sono numeri reali, a_n deve essere ≠ 0, e n è un numero intero positivo che determina il grado dell’equazione. Si definisce soluzione, o radice dell’equazione, un valore della variabile x che, sostituito nell’espressione polinomiale, fornisce l’identità 0 = 0. Risolvere un’equazione polinomiale significa determinarne tutte le possibili radici.

Un’equazione di primo grado del tipo ax + b = 0 si dice lineare nella variabile x; essa ammette come unica soluzione il valore x = –b/a. Un’equazione quadratica, o di secondo grado, della forma ax² + bx + c = 0, ha due radici, date dalla formula risolutiva

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Cenni storici

Fino al XVII secolo, la mancata comprensione delle soluzioni negative e complesse delle equazioni polinomiali pose un grosso limite allo sviluppo della teoria. Sebbene in India e in Cina alcuni matematici come Brahmagupta ammettessero anche l’esistenza di radici negative, al di fuori di queste regioni non si conosceva un metodo di risoluzione diretto per equazioni polinomiali con uno o più coefficienti negativi. Tali equazioni venivano ricondotte con strategie algebriche a equazioni con coefficienti positivi ma di forma diversa; ad esempio, esistevano sei diversi tipi di equazioni di secondo grado a seconda del segno dei tre coefficienti a, b e c.

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Primi metodi di risoluzione

In alcuni testi egizi e cinesi è descritto un metodo di risoluzione puramente aritmetico, detto “regola di falsa posizione”. Ad esempio, per risolvere l’equazione x + x/7 = 19, si attribuisce dapprima alla variabile x il valore x = 7, che rende il secondo termine semplice da calcolare; poiché sostituendo questo valore al posto di x, si ottiene come risultato 8, anziché 19, si moltiplica la stima iniziale, 7, per un fattore di correzione determinato dividendo 19 per 8. Questa operazione fornisce il risultato corretto dell’equazione 16 + š. Gli egizi applicavano il metodo della falsa posizione per trovare la soluzione di equazioni quadratiche semplici.

I primi metodi di risoluzione per equazioni di secondo grado complete, in cui cioè compare anche il termine lineare nella variabile x, come x² - 5x = 6, si trovano in testi matematici babilonesi risalenti al 2000 a.C. È degno di nota il fatto che, per quanto i babilonesi scartassero l’esistenza di radici negative o complesse, il metodo che essi utilizzavano per determinare le soluzioni reali e positive era esattamente quello tuttora applicato.

Nelle opere di Erone di Alessandria, che risalgono al I secolo a.C., è illustrato un interessante metodo approssimato per l’estrazione di radice quadrata. Per risolvere l’equazione di secondo grado del tipo x² = A, Erone pone dapprima x = (c + A/c)/2, dove c è una prima stima della radice quadrata di A e quindi della soluzione dell’equazione; migliora poi il risultato iterando, cioè ripetendo più volte, il procedimento con la nuova stima ottenuta. Così, per ottenere una soluzione approssimata dell’equazione x² = 2, si pone inizialmente x = ” e si migliora la stima calcolando la quantità [” + 2/(”)]/2, che fornisce come primo risultato 17/12. Il procedimento viene ripetuto fino a ottenere il valore 577/408, che è un’ottima approssimazione di Ã.

Un metodo iterativo efficace, esposto negli studi dei matematici cinesi Liu Hui (III secolo) e Chu Shih-Chieh (XIII secolo), e applicato nel XV secolo dal matematico musulmano Jamshid al-Kashi, venne riscoperto in Europa dal matematico britannico W.G. Horner intorno al 1800. Altri matematici musulmani che diedero importanti contributi alla teoria delle equazioni furono Al-Khuwarizmi e Omar Khayyam, che svilupparono la prima teoria per la risoluzione delle equazioni di terzo grado. Essendo formulata in termini geometrici, la teoria rimase necessariamente incompleta.

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Sviluppo della teoria

Nel 1545 Gerolamo Cardano pubblicò una formula risolutiva, valida in generale per le equazioni cubiche, che gli fu probabilmente suggerita qualche anno prima dal collega Niccolò Fontana, noto come Tartaglia. Poco tempo dopo Ludovico Ferrari, studente di Cardano, propose insieme a Tartaglia un metodo per la soluzione algebrica delle equazioni di quarto grado. Con l’opera di Raffaele Bombelli del 1572, che introduce i numeri immaginari con la notazione tuttora in uso, venne compiuto un notevole passo avanti in direzione del riconoscimento delle soluzioni complesse.

Nel 1629 il matematico francese Albert Girard riconobbe definitivamente la natura delle soluzioni negative e complesse, e fu così in grado di perfezionare il lavoro sulla relazione che intercorre tra le radici e i coefficienti di un’equazione algebrica, già iniziato da François Viète. Quest’ultimo scoprì che se a e b sono soluzioni di un’equazione di secondo grado della forma x² - px + q = 0, allora sussistono le relazioni p = (a + b) e q = a·b.

Più in generale, Viète dimostrò che se il coefficiente del termine di grado massimo dell’equazione generica p(x) = 0 è unitario, allora il coefficiente del termine di grado immediatamente inferiore, cambiato di segno, è dato dalla somma di tutte le radici; il coefficiente del terzo termine uguaglia invece la somma dei prodotti tra coppie di radici, e il coefficiente del quarto termine, cambiato di segno, è dato dalla somma dei prodotti tra terne di soluzioni. Inoltre, l’ultimo coefficiente è uguale al prodotto delle radici se l’equazione è di grado pari, e all’opposto se di grado dispari. Viète contribuì anche a trovare importanti metodi di approssimazione delle radici delle equazioni.

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Da Cartesio a Galois: una rapida evoluzione

Nel 1635 il filosofo e matematico francese Cartesio pubblicò un testo sulla teoria delle equazioni, che includeva anche la celebre regola dei segni, in base alla quale è possibile determinare il numero di radici positive e negative di un’equazione, a partire dal semplice esame del segno dei coefficienti. Qualche decennio più tardi, Isaac Newton fornì un metodo di risoluzione iterativo, attualmente noto come metodo di Newton-Raphson, di cui quello di Erone sopra citato risulta un caso particolare.

Alla fine del XVIII secolo Carl Friedrich Gauss dimostrò che ogni equazione polinomiale ammette almeno una soluzione, risultato oggi noto come “teorema fondamentale dell’algebra”. Per rendere completa la teoria rimaneva comunque da determinare una formula risolutiva di validità generale applicabile a equazioni di grado superiore al quarto. A questo scopo si rivelò molto importante il contributo di Giuseppe Lagrange, che propose un complesso metodo di risoluzione basato sulla teoria delle permutazioni.

Sebbene non abbia avuto successo per equazioni di grado superiore al quarto, il metodo di Lagrange fornì preziose indicazioni a Paolo Ruffini, Niels Abel ed Evariste Galois, i quali misero a punto una teoria completa sui polinomi, dimostrando che solo le equazioni polinomiali di grado inferiore al quinto possono essere risolte con formule algebriche. Gli studi di Galois fornirono anche la risposta a due celebri questioni che risalivano ai tempi degli antichi greci: egli dimostrò che usando soltanto un righello e un compasso è impossibile dividere un angolo in tre parti uguali, e che è pure impossibile costruire un cubo il cui volume sia doppio di quello di un volume assegnato.