4.

Tabulazione e presentazione dei dati

I dati statistici raccolti devono essere ordinati, tabulati e presentati in modo da permetterne un’analisi e un’interpretazione significativa. Ad esempio, supponiamo di voler studiare la distribuzione dei voti in centesimi di un esame in una classe di trenta studenti. Innanzitutto i voti devono essere riscritti in ordine crescente: 30, 35, 43, 52, 61, 65, 65, 65, 68, 70, 72, 72, 73, 75, 75, 76, 77, 78, 78, 80, 83, 85, 88, 88, 90, 91, 96, 97, 100, 100. Questa progressione permette di osservare immediatamente che il massimo è 100, il minimo è 30, e che l’intervallo compreso tra massimo e minimo, cioè il cosiddetto campo di variazione, è uguale a 70.

In un grafico delle frequenze cumulative, come quello di figura 1, i voti vengono riportati sull’asse orizzontale, mentre sulla sinistra dell’asse verticale è riportato in modo cumulativo il numero di volte con cui ciascun voto ricorre, e sulla destra la percentuale del totale corrispondente a tale numero. In questo modo ogni punto del grafico rappresenta il numero di studenti che hanno ottenuto un determinato voto, o un voto a esso inferiore. Ad esempio, il punto A corrisponde al voto 72; leggendo sull’asse verticale, è evidente che ci sono 12 voti, ossia il 40% del totale, minori o uguali a 72.

Se si vogliono analizzare i voti di dieci classi, ciascuna composta da trenta studenti, riportati in quattro diversi esami, si dovranno rappresentare ben 1200 voti: questo è un numero troppo grande per poter trovare spazio in un grafico simile a quello di figura 1. Si dividono allora i dati in “gruppi significativi” detti classi o intervalli. Come esempio consideriamo la tabella di distribuzione delle frequenze; i 1200 voti vengono raggruppati in dieci intervalli distinti, elencati nella colonna (a), e il numero reale di voti in un intervallo, detto frequenza dell’intervallo, viene riportato nella colonna (c). I valori che definiscono gli estremi dell’intervallo, detti limiti dell’intervallo, sono preferibilmente scelti in modo che gli intervalli siano tutti di uguale ampiezza, e che i punti medi siano numeri semplici.

Ancora con riferimento alla tabella, un voto come 87 sarà compreso nell’intervallo 80-90; un voto di confine come 90 può essere contato sia nell’intervallo inferiore che in quello superiore. La frequenza relativa, riportata in colonna (d), è il rapporto tra la frequenza di un intervallo e il conteggio totale. La frequenza cumulata, colonna (e), rappresenta il numero di studenti che hanno ricevuto un voto inferiore a quelli dell’intervallo successivo; così, il numero di studenti con voti inferiori a 30 si ottiene sommando le frequenze della colonna (c) dei primi tre intervalli, e vale 53. La frequenza relativa cumulata, colonna (f), è il rapporto tra la frequenza cumulata e il numero totale di voti.

I dati di una tabella di distribuzione delle frequenze possono essere rappresentati graficamente in un istogramma delle frequenze, come in figura 2, oppure con un tratto di curva continuo, come in figura 3. L’istogramma consiste in una serie di rettangoli con base uguale alla misura degli intervalli e altezza proporzionale alla frequenza del relativo intervallo. Una curva come quella di figura 3 si ottiene unendo i punti medi degli intervalli di un istogramma delle frequenze cumulative.

Spesso sui giornali o sulle riviste compaiono rappresentazioni grafiche diverse di dati statistici; particolarmente utilizzati sono, ad esempio, gli ortogrammi, diagrammi di superficie nei quali il diverso valore di un fenomeno è rappresentato da figure geometriche, preferibilmente rettangoli, di area diversa; i diagrammi a righe, in cui si utilizzano segmenti verticali o orizzontali, di lunghezza proporzionale al valore del fenomeno analizzato; gli aerogrammi a settori circolari, in cui la superficie di un cerchio viene suddivisa in settori circolari, di area proporzionale alla percentuale del totale coperta dalle varie espressioni del fenomeno in esame.