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Modelli matematici

Un modello matematico è un’idealizzazione matematica di un fenomeno fisico, biologico o sociale, che si traduce in un sistema, una proposizione, una formula o un’equazione matematica. Così, un dado ideale, perfettamente equilibrato, che possa essere lanciato in modo assolutamente casuale, rappresenta un modello matematico per un dado fisico reale. La probabilità che in un numero n di lanci di un dado ideale il numero 6 esca k volte è data dall’espressione

in cui (¥) è il simbolo di coefficiente binomiale e vale

Si può allora mettere alla prova la “bontà” di un dado reale lanciandolo più volte, e confrontando i risultati sperimentali con quelli del modello di dado ideale. Vedi anche Permutazioni e combinazioni.

Come esempio di un modello matematico più complesso, si supponga di avere effettuato molte serie di misure: ad esempio, il numero di volte in cui si ottiene la cifra 6 in n lanci di un dado; il peso di N fagioli scelti a caso da un sacchetto; il valore della pressione barometrica ottenuto da studenti diversi con lo stesso barometro. In tutti questi casi, i valori osservati hanno distribuzioni di frequenze estremamente simili. Si può allora adottare un modello matematico che è un prototipo, o un’idealizzazione, di queste distribuzioni così simili tra loro. Se si assume che il numero di osservazioni, o di dati, sia molto grande, idealmente infinito, la funzione che rappresenta la distribuzione delle frequenze è

dove e è la base dei logaritmi naturali, e vale circa 2,7, mentre y rappresenta la frequenza del valore x. Il grafico di questa funzione (figura 4) è la curva a campana chiamata distribuzione di probabilità normale, o gaussiana.

Essa riveste un’enorme importanza nella statistica e nella teoria delle probabilità, dal momento che tutti gli eventi in cui intervengono fenomeni casuali si distribuiscono intorno al valore medio secondo tale curva.