1.

Introduzione

Equazione In matematica, uguaglianza tra due espressioni comprendenti almeno una variabile incognita, soddisfatta in genere solo per opportuni valori di questa. Le equazioni sono di estrema importanza in quasi tutti i campi della matematica applicata, in particolare nelle scienze fisiche, biologiche e sociali.

L’incognita, o eventualmente le incognite, sono indicate in genere con le ultime lettere dell’alfabeto, spesso con x, y o z, come ad esempio nelle equazioni x² + x - 4 = 8, y = sin x + x, e 3y = log x. Un’equazione si dice a una, due, tre o più variabili, secondo il numero di incognite che essa contiene; così, la prima delle equazioni scritte sopra è a una variabile, le altre sono entrambe a due variabili.

2.

Soluzione

La soluzione di un’equazione è data dall’insieme di valori, detti radici, che, sostituiti alle incognite, rendono vera l’uguaglianza o, in altri termini, la riducono a un’identità. Ad esempio, la radice dell’equazione 2x + 5 = 13 è x = 4; infatti, sostituendo 4 alla variabile x si ottiene l’identità 13 = 13 e l’uguaglianza è soddisfatta; analogamente, la coppia di valori x = 2 e y = 4 rappresenta una delle possibili soluzioni dell’equazione a due variabili 3x² + 4y = 28. Un’equazione soddisfatta da tutti i possibili valori delle variabili è un’identità. Ad esempio, (x + y)² = x² + 2xy + y² e sin² x + cos²x = 1 sono identità, poiché sono entrambe vere per tutti i possibili valori delle incognite.

3.

Proprietà

Esistono due importanti proprietà di cui è utile tenere conto nel procedimento di risoluzione di un’equazione:

1) Aggiungendo o togliendo una stessa quantità a entrambi i membri (a sinistra e a destra dell’uguale) di un’equazione, la soluzione non cambia.

2) Dividendo o moltiplicando entrambi i membri di un’equazione, la soluzione non cambia.

4.

Tipi di equazioni

Un’equazione si dice polinomiale se è del tipo

a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0

dove i coefficienti a₀, a₁,..., a_n sono costanti; il numero n, un intero positivo che rappresenta il massimo esponente dell’incognita, determina il grado dell’equazione. Le equazioni di primo, secondo e terzo grado, corrispondenti a valori di n uguali rispettivamente a 1, 2 e 3, sono spesso chiamate anche equazioni lineari, quadratiche e cubiche (vedi Teoria delle equazioni).

Importanti tipi di equazioni sono quelle algebriche, ad esempio x + x/7 = 14; quelle trigonometriche, come sin x + cos 2x = y; quelle logaritmiche, come log x + 2 log (x + 1) = 8, e infine quelle esponenziali, come 3^x + 2x - 5 = 0. Le equazioni diofantee sono equazioni a una o più incognite a coefficienti interi, di cui si cercano solo soluzioni intere. Nell’ambito del calcolo infinitesimale si risolvono equazioni differenziali e integrali: in esse l’incognita non è una semplice variabile, ma un’intera funzione, che compare sotto forma di derivata o di integrale.

5.

Equazioni algebriche di primo grado in una incognita

Un’equazione si dice di primo grado (o lineare) se il massimo esponente a cui compare elevata l’incognita è 1. Un esempio di semplice equazione di primo grado è 2x + 3 = 4. Per risolverla bastano pochi passaggi algebrici, che tengano conto delle due proprietà esposte sopra per isolare l’incognita a primo membro. Nel caso dell’esempio, se si sottrae 3 da entrambi i membri, si ottiene:

2x + 3 – 3 = 4 - 3

E quindi:

2x = 1

In questa espressione, x appare moltiplicata per 2. Per isolarla a primo membro, è sufficiente dividere entrambi i membri per 2:

2x/2 = 1/2

Ossia:

x = ½.

Per verificare che x = ½ è soluzione dell’equazione, basta sostituire il valore ½ al posto di x nell’equazione:

2 · ½ + 3 = 4

Vale a dire:

4 = 4

L’aver trovato un’identità (un’uguaglianza sempre verificata) conferma che x = ½ è soluzione dell’equazione data.

6.

Equazioni algebriche di secondo grado in una incognita

Nelle equazioni di secondo grado, dette anche equazioni “quadratiche”, la massima potenza a cui compare elevata la x è 2. Qualunque equazione di secondo grado, con operazioni che tengano conto delle due proprietà esposte sopra, può essere ridotta a un trinomio della forma:

ax² + bx + c = 0

dove a, b e c sono numeri reali. Si può dimostrare che, per risolvere l’equazione, basta applicare la formula generale:

x_1,2 = [-b ± (b² – 4ac)^1/2]/2a

La presenza di una radice di indice pari nella formula risolutiva (la quantità tra parentesi tonde elevata alla ½) fa sì che, a seconda dei valori dei coefficienti a, b e c, vari il numero e il tipo di soluzioni dell’equazione: l’equazione può ammettere infatti due soluzioni reali e distinte se la quantità sotto radice (b² – 4ac), detta anche “delta”, è maggiore di zero; due soluzioni coincidenti se il delta è uguale a zero; nessuna soluzione (o, più precisamente, due soluzioni complesse) se il delta è minore di zero.

Un esempio di equazione di secondo grado che ammetta due soluzioni distinte è x² + 4x = 0; le due soluzioni, come si può facilmente verificare, sono x = 0 e x = 4. Un esempio di equazione di secondo grado con soluzioni coincidenti è x² – 4x + 4 = 0, le cui radici sono appunto x = 2 e x = 2. Infine, un esempio di equazione di secondo grado “impossibile” è x² + 1 = 0. Nel campo dei numeri reali, infatti, non è possibile che la somma di due quantità sicuramente positive, quali sono x² e 1, sia zero; nel campo dei numeri complessi, invece, l’equazione ammette le due radici x = +i e x = -i.

7.

Equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di terzo, quarto grado e superiori non ammettono una formula risolutiva universale come quelle di secondo grado. Per risolverle è sufficiente però portare tutta l’espressione a primo membro (a sinistra dell’uguale) e scomporla in fattori primi. Applicando il principio per cui un prodotto di fattori è uguale a zero se lo sono i singoli fattori, si procede a porre uguale a zero ogni fattore.

Ad esempio, sia data l’equazione di terzo grado x³ + 1 = 0. Scomponendo la quantità al primo membro in fattori, si ha:

(x + 1)(x² – x + 1) = 0

Ponendo il primo fattore uguale a zero si trova x = 1; il secondo fattore è un trinomio di secondo grado non ulteriormente scomponibile: il suo delta, infatti, è minore di zero, il che significa che non ammette soluzioni reali. Quindi unica soluzione di questa equazione è x = -1.

8.

Sistemi di equazioni

Un sistema di equazioni è un insieme combinato di più equazioni in più incognite; in questo caso la soluzione è data dall’insieme di valori delle incognite che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.