1.

Introduzione

Numero primo Qualunque numero intero maggiore di 1, che sia divisibile senza resto solo per se stesso e per l'unità. I primi dieci numeri primi dell’insieme dei numeri naturali sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Proprietà fondamentale della matematica è che qualunque numero intero si può scomporre in modo univoco come il prodotto di fattori primi; ad esempio, 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

2.

Criterio di Eratostene

Nel III secolo a.C. Eratostene mise a punto un procedimento, detto appunto criterio di Eratostene, che permette di determinare se un numero qualsivoglia è primo o non lo è. Il metodo consiste nel procedere alla divisione dell’intero dato per tutti i numeri primi successivi 2, 3, 5, ecc., fino a quando il quoziente diventa maggiore del divisore. Se in una di queste operazioni si ottiene resto nullo, l’intero considerato non è un numero primo; se, al contrario, non si ottiene mai resto nullo, l’intero è effettivamente un numero primo. Il procedimento può sembrare lungo e laborioso ma, a tutt’oggi, è l’unico esistente.

3.

Un insieme infinito

Se si ha la pazienza di esplorare la popolazione dei numeri primi nell’insieme dei numeri naturali n, si può osservare che essi diventano via via più rari al crescere di n: si parla a questo proposito di “legge di rarefazione” dei numeri primi. Risulta infatti che i numeri primi rappresentano il 25% degli interi compresi tra 1 e 100, il 17% degli interi compresi tra 1 e 1000 e il 7% di quelli compresi tra 1 e 1.000.000. Si potrebbe pensare quindi che prima o poi si possano esaurire, vale a dire che l’insieme di tutti i numeri primi sia finito. Nel nono libro degli Elementi, invece, il matematico greco Euclide fornì un’elegante dimostrazione del fatto che l’insieme dei numeri primi ha cardinalità infinita.

La dimostrazione è del tipo per assurdo: si suppone, negando la tesi, che l’insieme dei numeri primi sia finito, e si chiama p l’elemento più grande di questo insieme. Si considera la quantità

q = [1 × 2 × 3 × ...× (p – 1) × p] + 1

vale a dire il prodotto di tutti gli interi compresi tra 1 e p, aumentato di un’unità. Questo numero q, come tutti i numeri interi, può essere scomposto in un prodotto di fattori primi: se a è uno di questi fattori non uguale a 1, poiché è minore di p, è anche un divisore del prodotto

1 × 2 × 3 × ... × (p – 1) × p.

Ma allora a è contemporaneamente un divisore di questo prodotto e di q, vale a dire, del prodotto aumentato di un’unità. Ora, due interi consecutivi non possono avere alcun divisore comune, se non l’unità. Si è quindi giunti a una contraddizione: l’ipotesi di partenza è falsa, e l’insieme dei numeri primi è infinito.

4.

Proprietà e problemi aperti

Si dice che due interi naturali sono primi tra loro se il loro unico divisore comune è 1. Si può dimostrare che, per ogni coppia di numeri naturali a e b primi tra loro, esistono due interi relativi u e v, anch’essi primi tra loro, tali che a.u + b.v = 1. Tale relazione è nota con il nome di identità di Bezout.

Si dicono gemelli due numeri primi che differiscano tra loro di due unità. Ad esempio, 5 e 7, 17 e 19, 101 e 103. A tutt’oggi, i matematici non sono in grado di provare se l’insieme dei numeri primi gemelli sia finito o infinito; più in generale, non c’è modo di dimostrare la finitezza o infinitezza di tutti i possibili insiemi costituiti dalle coppie di numeri primi che differiscono tra loro di una data quantità costante.

Nel 1742 il matematico russo Christian Goldbach, in una lettera a Eulero divenuta celebre, enunciò che tutti gli interi pari possono essere visti come la somma di due numeri primi. Ad esempio, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17, 100 = 3 + 97, ecc. La proposizione, nota come “congettura di Goldbach”, non è ancora stata provata. Ed è ancora in attesa di dimostrazione una seconda “congettura” dello stesso Goldbach, secondo cui tutti i numeri naturali risulterebbero dati dalla somma di tre opportuni numeri primi; ad esempio,

8 = 2 + 2 + 3 e 12 = 2 + 3 + 7.

Sebbene neanche questa affermazione sia stata dimostrata nel caso più generale, il matematico sovietico Ivan Matveevič Vinogradov provò nel 1937 che è vera almeno per gli interi sufficientemente grandi.

Si dicono numeri di Mersenne i numeri primi esprimibili nella forma 2^P-1, dove P è anch’esso un numero primo. Prendono il nome dal monaco francese Marin Mersenne, che nel XVII secolo diede importanti contributi alla ricerca in questo campo. Si tratta, vista la forma esponenziale, di quantità molto grandi, ormai identificabili soltanto con l’aiuto di sofisticati strumenti informatici. Oggi si conoscono 41 di questi numeri, l’ultimo dei quali è stato determinato nel maggio 2004: 2^24036583-1, un numero di 7.235.733 cifre decimali.. Per le operazioni di ricerca e verifica è stato istituito un apposito programma in Internet, denominato GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search); si tratta di un’iniziativa a cui può aderire qualunque utente della Rete, installando un apposito programma e mettendo a disposizione della ricerca il proprio personal computer nei momenti di inattività.

5.

Applicazioni

I numeri primi costituiscono oggi un campo di ricerca aperto. Uno dei filoni di ricerca più battuti consiste nel determinare, con l’aiuto di potenti supercomputer, numeri primi sempre più grandi; il loro prodotto, infatti, fornisce un risultato dal quale, in generale, è molto difficile risalire alla scomposizione in fattori primi. Questa proprietà viene comunemente utilizzata nei sistemi di crittografia detti a chiave pubblica (CCP), oggi indispensabili, ad esempio, nei sistemi automatici per le transazioni bancarie e per le operazioni di commercio elettronico.

Molti sistemi fisici e biologici presentano schemi di funzionamento che dipendono dai numeri primi; questo rende più interessante lo studio, in corso presso l’Università di Boston, riguardante il criterio di distribuzione dei numeri primi nell’insieme dei numeri naturali: secondo i risultati finora ottenuti, i numeri primi non sarebbero distribuiti casualmente, ma seguirebbero schemi statistici prevedibili.