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Proprietà e problemi aperti

Si dice che due interi naturali sono primi tra loro se il loro unico divisore comune è 1. Si può dimostrare che, per ogni coppia di numeri naturali a e b primi tra loro, esistono due interi relativi u e v, anch’essi primi tra loro, tali che a.u + b.v = 1. Tale relazione è nota con il nome di identità di Bezout.

Si dicono gemelli due numeri primi che differiscano tra loro di due unità. Ad esempio, 5 e 7, 17 e 19, 101 e 103. A tutt’oggi, i matematici non sono in grado di provare se l’insieme dei numeri primi gemelli sia finito o infinito; più in generale, non c’è modo di dimostrare la finitezza o infinitezza di tutti i possibili insiemi costituiti dalle coppie di numeri primi che differiscono tra loro di una data quantità costante.

Nel 1742 il matematico russo Christian Goldbach, in una lettera a Eulero divenuta celebre, enunciò che tutti gli interi pari possono essere visti come la somma di due numeri primi. Ad esempio, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17, 100 = 3 + 97, ecc. La proposizione, nota come “congettura di Goldbach”, non è ancora stata provata. Ed è ancora in attesa di dimostrazione una seconda “congettura” dello stesso Goldbach, secondo cui tutti i numeri naturali risulterebbero dati dalla somma di tre opportuni numeri primi; ad esempio,

8 = 2 + 2 + 3 e 12 = 2 + 3 + 7.

Sebbene neanche questa affermazione sia stata dimostrata nel caso più generale, il matematico sovietico Ivan Matveevič Vinogradov provò nel 1937 che è vera almeno per gli interi sufficientemente grandi.

Si dicono numeri di Mersenne i numeri primi esprimibili nella forma 2^P-1, dove P è anch’esso un numero primo. Prendono il nome dal monaco francese Marin Mersenne, che nel XVII secolo diede importanti contributi alla ricerca in questo campo. Si tratta, vista la forma esponenziale, di quantità molto grandi, ormai identificabili soltanto con l’aiuto di sofisticati strumenti informatici. Oggi si conoscono 41 di questi numeri, l’ultimo dei quali è stato determinato nel maggio 2004: 2^24036583-1, un numero di 7.235.733 cifre decimali.. Per le operazioni di ricerca e verifica è stato istituito un apposito programma in Internet, denominato GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search); si tratta di un’iniziativa a cui può aderire qualunque utente della Rete, installando un apposito programma e mettendo a disposizione della ricerca il proprio personal computer nei momenti di inattività.