1.

Introduzione

Teoria dei numeri Ramo della matematica che ha per oggetto le proprietà dei numeri e le relazioni che possono essere stabilite tra essi. Secondo questa vasta definizione, la teoria dei numeri includerebbe gran parte di tutta la matematica, in particolare l'analisi matematica; essa invece è generalmente confinata allo studio dei numeri interi e ad altri insiemi numerici con proprietà simili.

2.

Le origini

Lo studio dei numeri come entità astratte fu introdotto dai pitagorici, tuttavia la prima esposizione completa della teoria dei numeri, ossia delle proprietà dei numeri interi e dei rapporti tra numeri interi, è dovuta a Euclide. Nei libri VII, VIII e IX della celebre opera Elementi sono riportate le definizioni di multiplo, di numero perfetto, di numero primo e di numero composto; inoltre, è precisato il criterio per calcolare il massimo comune divisore (M.C.D.) di più interi assegnati ed è dimostrata la proposizione secondo cui la scomposizione in fattori primi di un qualsiasi numero intero è unica.

Nel linguaggio della matematica di oggi, queste definizioni possono essere espresse nel modo seguente:

- assegnati tre numeri interi, a, b e c, tali che a = bc, a è detto multiplo di b o di c, e b o c sono detti divisori o fattori di a; inoltre, se c è diverso da ±1, b si dice divisore proprio di a;

- un numero perfetto è un intero positivo che goda della proprietà di essere il risultato della somma di tutti i suoi divisori propri interi e positivi; esempi comuni sono il 6, che è pari a 1 + 2 + 3, e il 28, che è dato da 1 + 2 + 4 + 7 + 14; un numero positivo che non goda di questa proprietà si dice imperfetto per eccesso o per difetto, secondo che la somma dei suoi divisori interi positivi sia maggiore o minore del numero stesso;

- l'insieme dei numeri primi è costituito da tutti gli interi p (con p ≠ ±1) che risultino divisibili esattamente solo da ±1 e da ± p.

- un numero a si dice composto se esistono due numeri b e c tali che a = bc, con la condizione che né b né c siano ± 1.

Nel XIX libro degli Elementi, che contiene la parte conclusiva della trattazione sulla teoria dei numeri, è dimostrata la proposizione secondo cui esistono infiniti numeri primi o, in altre parole, secondo cui l'insieme dei numeri primi non ammette massimo. La dimostrazione data da Euclide, ormai divenuta un classico, procede nei seguenti termini: sia p un numero primo e q = 1 × 2 × 3 × … × p + 1, il numero che si ottiene aggiungendo l'unità al prodotto dei primi p numeri; l'intero q è maggiore di p e non è divisibile per nessun intero compreso tra 2 e p, quest'ultimo incluso. Un qualunque suo divisore positivo e diverso da 1, perciò, deve essere maggiore di p. Ne segue che deve esistere necessariamente un numero primo maggiore di p che divida esattamente q.

3.

Sviluppi successivi

Gli sviluppi successivi della teoria dei numeri sono legati all'evoluzione dell'aritmetica che, inizialmente legata alla geometria, cominciò a essere trattata in modo indipendente solo nel periodo alessandrino. Nell'opera Introductio arithmeticae del matematico Nicomaco sono discusse e generalizzate alcune affermazioni di stampo pitagorico (ad esempio quelle riguardanti i numeri triangolari, e cioè quei numeri che possono essere rappresentati da punti disposti in modo da formare un triangolo) e sono dimostrate numerose proposizioni sulle progressioni. Nicomaco mostra che, scritti tutti i numeri dispari, 1, 3, 5, 7, …, il primo è il cubo di 1, la somma dei due numeri successivi è il cubo di 2, la somma dei tre successivi è il cubo di tre e così via; inoltre riporta la dimostrazione del celebre Crivello di Eratostene, che fornisce un metodo per determinare velocemente tutti i numeri primi: dopo aver scritto tutti i numeri dispari a partire da tre, si cancellano tutti i multipli di tre, vale a dire i numeri che occupano ogni terzo posto dopo il tre; in modo simile si eliminano tutti i multipli di cinque, di sette e così via, tenendo conto che nessun numero già eliminato deve essere considerato il punto di partenza per una nuova cancellazione; aggiungendo il numero due ai numeri rimasti si ottengono tutti e solo i numeri primi.

La teoria dei numeri primi presenta ancora interessanti spunti di ricerca e di studio. Ad esempio, detti gemelli due numeri primi che differiscono di 2 unità (ad esempio, 5 e 7, 17 e 19, 101 e 103), non è ancora stato chiarito dai matematici se le coppie di gemelli siano finite o infinite. Un'altra congettura è che ogni numero pari maggiore di 2 si possa esprimere come somma di due numeri primi, come si verifica per 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 20 = 3 + 17; 100 = 3 + 97; comunque, ancora manca una dimostrazione generale di questa presunta proprietà.

4.

La moderna teoria dei numeri

La nascita della moderna teoria dei numeri è da attribuire al matematico Carl Friedrich Gauss, il quale sviluppò la nozione di congruenza già introdotta da Eulero, Lagrange e Legendre, e la approfondì fino a formulare una teoria completa. Dati tre numeri interi a, b e m, si dice che a è congruente a b modulo m, e si scrive a = b (mod m), se a - b è un multiplo di m, ossia se è divisibile esattamente per m. In altre parole, affermare che a è congruente a b rispetto al modulo m, significa affermare che i resti delle divisioni di a e di b per m sono uguali; in tal caso si dice che a è un residuo di b mod m, e che b è un residuo di a mod m.

La teoria delle congruenze rispetto allo stesso modulo, che presenta caratteristiche simili a quella delle equazioni, fu generalizzata dallo stesso Gauss a forme di grado superiore, del tipo a ⁿ = b (mod m), e quindi all'analisi dei cosiddetti residui di grado n, e alle congruenze tra polinomi. Lo studio dei residui cubici e biquadratici, cioè di relazioni di congruenza del tipo a ³ = b (mod m ) e a ⁴ = b (mod m), portarono alla definizione della teoria degli interi complessi, cioè di numeri della forma a + bi con a e b numeri interi. Da queste ricerche, a sua volta, si sviluppò la teoria dei numeri algebrici, che trovò la sua formulazione completa nell'opera di Julius Dedekind: un numero algebrico di grado n è una soluzione di un'equazione di grado n e a coefficienti interi, che non sia al contempo soluzione anche di un'equazione di grado minore; inoltre, se l'equazione considerata ha il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1, le soluzioni sono dette interi algebrici di grado n.

Gli sviluppi successivi della teoria dei numeri riguardarono formulazioni teoriche affascinanti ma assai complicate, che ancora oggi rappresentano uno stimolante campo di studio. Tra esse vi sono la teoria degli ideali di Dedekind (in cui si associa a ogni numero intero la classe di numeri costituita da tutti i multipli dell'intero assegnato, e si lavora unicamente con classi di numeri); la teoria delle forme (fondata sullo studio algebrico di espressioni del tipo ax² + 2 xy + cy²) e la teoria analitica dei numeri, dalla quale scaturì la dimostrazione del celebre teorema dei numeri primi.