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Le origini

Lo studio dei numeri come entità astratte fu introdotto dai pitagorici, tuttavia la prima esposizione completa della teoria dei numeri, ossia delle proprietà dei numeri interi e dei rapporti tra numeri interi, è dovuta a Euclide. Nei libri VII, VIII e IX della celebre opera Elementi sono riportate le definizioni di multiplo, di numero perfetto, di numero primo e di numero composto; inoltre, è precisato il criterio per calcolare il massimo comune divisore (M.C.D.) di più interi assegnati ed è dimostrata la proposizione secondo cui la scomposizione in fattori primi di un qualsiasi numero intero è unica.

Nel linguaggio della matematica di oggi, queste definizioni possono essere espresse nel modo seguente:

- assegnati tre numeri interi, a, b e c, tali che a = bc, a è detto multiplo di b o di c, e b o c sono detti divisori o fattori di a; inoltre, se c è diverso da ±1, b si dice divisore proprio di a;

- un numero perfetto è un intero positivo che goda della proprietà di essere il risultato della somma di tutti i suoi divisori propri interi e positivi; esempi comuni sono il 6, che è pari a 1 + 2 + 3, e il 28, che è dato da 1 + 2 + 4 + 7 + 14; un numero positivo che non goda di questa proprietà si dice imperfetto per eccesso o per difetto, secondo che la somma dei suoi divisori interi positivi sia maggiore o minore del numero stesso;

- l'insieme dei numeri primi è costituito da tutti gli interi p (con p ≠ ±1) che risultino divisibili esattamente solo da ±1 e da ± p.

- un numero a si dice composto se esistono due numeri b e c tali che a = bc, con la condizione che né b né c siano ± 1.

Nel XIX libro degli Elementi, che contiene la parte conclusiva della trattazione sulla teoria dei numeri, è dimostrata la proposizione secondo cui esistono infiniti numeri primi o, in altre parole, secondo cui l'insieme dei numeri primi non ammette massimo. La dimostrazione data da Euclide, ormai divenuta un classico, procede nei seguenti termini: sia p un numero primo e q = 1 × 2 × 3 × … × p + 1, il numero che si ottiene aggiungendo l'unità al prodotto dei primi p numeri; l'intero q è maggiore di p e non è divisibile per nessun intero compreso tra 2 e p, quest'ultimo incluso. Un qualunque suo divisore positivo e diverso da 1, perciò, deve essere maggiore di p. Ne segue che deve esistere necessariamente un numero primo maggiore di p che divida esattamente q.