3.

Sviluppi successivi

Gli sviluppi successivi della teoria dei numeri sono legati all'evoluzione dell'aritmetica che, inizialmente legata alla geometria, cominciò a essere trattata in modo indipendente solo nel periodo alessandrino. Nell'opera Introductio arithmeticae del matematico Nicomaco sono discusse e generalizzate alcune affermazioni di stampo pitagorico (ad esempio quelle riguardanti i numeri triangolari, e cioè quei numeri che possono essere rappresentati da punti disposti in modo da formare un triangolo) e sono dimostrate numerose proposizioni sulle progressioni. Nicomaco mostra che, scritti tutti i numeri dispari, 1, 3, 5, 7, …, il primo è il cubo di 1, la somma dei due numeri successivi è il cubo di 2, la somma dei tre successivi è il cubo di tre e così via; inoltre riporta la dimostrazione del celebre Crivello di Eratostene, che fornisce un metodo per determinare velocemente tutti i numeri primi: dopo aver scritto tutti i numeri dispari a partire da tre, si cancellano tutti i multipli di tre, vale a dire i numeri che occupano ogni terzo posto dopo il tre; in modo simile si eliminano tutti i multipli di cinque, di sette e così via, tenendo conto che nessun numero già eliminato deve essere considerato il punto di partenza per una nuova cancellazione; aggiungendo il numero due ai numeri rimasti si ottengono tutti e solo i numeri primi.

La teoria dei numeri primi presenta ancora interessanti spunti di ricerca e di studio. Ad esempio, detti gemelli due numeri primi che differiscono di 2 unità (ad esempio, 5 e 7, 17 e 19, 101 e 103), non è ancora stato chiarito dai matematici se le coppie di gemelli siano finite o infinite. Un'altra congettura è che ogni numero pari maggiore di 2 si possa esprimere come somma di due numeri primi, come si verifica per 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 20 = 3 + 17; 100 = 3 + 97; comunque, ancora manca una dimostrazione generale di questa presunta proprietà.