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La moderna teoria dei numeri

La nascita della moderna teoria dei numeri è da attribuire al matematico Carl Friedrich Gauss, il quale sviluppò la nozione di congruenza già introdotta da Eulero, Lagrange e Legendre, e la approfondì fino a formulare una teoria completa. Dati tre numeri interi a, b e m, si dice che a è congruente a b modulo m, e si scrive a = b (mod m), se a - b è un multiplo di m, ossia se è divisibile esattamente per m. In altre parole, affermare che a è congruente a b rispetto al modulo m, significa affermare che i resti delle divisioni di a e di b per m sono uguali; in tal caso si dice che a è un residuo di b mod m, e che b è un residuo di a mod m.

La teoria delle congruenze rispetto allo stesso modulo, che presenta caratteristiche simili a quella delle equazioni, fu generalizzata dallo stesso Gauss a forme di grado superiore, del tipo a ⁿ = b (mod m), e quindi all'analisi dei cosiddetti residui di grado n, e alle congruenze tra polinomi. Lo studio dei residui cubici e biquadratici, cioè di relazioni di congruenza del tipo a ³ = b (mod m ) e a ⁴ = b (mod m), portarono alla definizione della teoria degli interi complessi, cioè di numeri della forma a + bi con a e b numeri interi. Da queste ricerche, a sua volta, si sviluppò la teoria dei numeri algebrici, che trovò la sua formulazione completa nell'opera di Julius Dedekind: un numero algebrico di grado n è una soluzione di un'equazione di grado n e a coefficienti interi, che non sia al contempo soluzione anche di un'equazione di grado minore; inoltre, se l'equazione considerata ha il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1, le soluzioni sono dette interi algebrici di grado n.

Gli sviluppi successivi della teoria dei numeri riguardarono formulazioni teoriche affascinanti ma assai complicate, che ancora oggi rappresentano uno stimolante campo di studio. Tra esse vi sono la teoria degli ideali di Dedekind (in cui si associa a ogni numero intero la classe di numeri costituita da tutti i multipli dell'intero assegnato, e si lavora unicamente con classi di numeri); la teoria delle forme (fondata sullo studio algebrico di espressioni del tipo ax² + 2 xy + cy²) e la teoria analitica dei numeri, dalla quale scaturì la dimostrazione del celebre teorema dei numeri primi.